Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
где g, fe и Ср, q, je — числовые коэффициенты.
4.3. Если р и q— четные числа и й ^>— 1, то
(_ 1 f Ь(к) (Р J — Ь{к) (Р_) =
= ^ - L а8 (jclt .... хга),
во всех остальных случаях
_№)(Р_) = (__)* 8(Й)(Р+).
5. Фундаментальное решение К дифференциального
уравнения Lku — f (х).
5.1. га — нечетное число, то
*i = (--i)*-^—^(Я + /0) -+* =
4ft(? — 1)! па
440 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1
5.2. Если п —четное число и то
/Сх = (-1)'
"'г(т-')
+к
4&(fc — 1)!тс
(Я-ИО) 2 =
г2 Г
V } га L +
4k(k— 1)1 п2
(2_J_)[p-f^+(_irl
где P+2 и P_a обозначают свободные члены лоранов-ских разложений функций Р+ и PL в окрестности точки
п
5.3. Если «— четное число и А> /»о
/Ci = (-i)!
-1
17 <7J
П у
¦(P-f-Ю) 2 1п(Р-г-/0),
/С2 = К\.
6. Формулы пп. 3, 5 остаются справедливыми для произвольной невырожденной квадратичной формы
В этом случае
Р- 2 ваЯХаХв'
a, 3-1 ?
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 441
2. Если f(xu .... хп) положительная непрерывная однородная функция 1-й степени, то обобщенная функция
(Л ?) = _/> ydx.
определенная этим интегралом при ReX>>—п, может быть аналитически продолжена во всю плоскость л, за исключением точек X — — п, —п—1.....—п — k.....где она
имеет простые полюсы. Аналитическое продолжение р в область Re л > —п — k — 1 задается формулой
(А ?) = / Iх (*)
<Р (х) — ср (0) — ...
' ~~ТГ 2а xi ' - - хп —у,
дк<р (0)
¦ п
f P(x)<?(x)dx+-
R — G
dx-\~
. V_1_ У (°> /У(*) х- х«га.
ш=0
га
где коэффициенты _f"P определяются из условий __ ggpg^7 = SI
(8_= 1 при т = а, 81—0 при 7 а).
В формулы п. 3 нужно при этом добавить справа
в качестве множителя , а в формулы п. 5 добавить Y I А I,
где Д—дискриминант квадратичной формы Р.
7. Преобразования Фурье функций, перечисленных в nn. 1—6, приведены в сводной таблице преобразований Фурье (ниже).
Глава III, § 3
1. Обобщенная функция / (jc_.....хп) называется однородной функцией степени а, если для любой основной функции ср (х) и а > 0
442 сводка основных определений и формул вып. 1
.. -f-( — хп d"xi - • • dx.
ra-l-
В полосе —п — k — l<CReX-<—п — k эта же формула может быть записана в виде
(A ?) = f /Aw[?W-?(0)- ...
Вычет функции fk в точке X — — n — k равен
(-D*
a, +......
1 П
В частности, в точке Х=—п он равен
s<*>
г
3. По произвольной формально однородной функции Ф (х) степени—п и области G, содержащей начало координат, строится обобщенная функция
Ф I la
локально совпадающая с Ф(х) всюду, кроме нуля. Эта обобщенная функция Ф \д однородна степени — п тогда и только тогда, когда
^Ф • со = 0.
где Г — граница области G и со — дифференциальная форма, указанная выше.
где G— область, содержащая начало координат, Г — ее граница, а со—дифференциальная форма
Х\ * • • " dx-y clx% « а • clx^ —|—' . • •
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ вып. 1 443
5. Однородная функция Ф степени — п -J- 1 может быть продифференцирована (как обобщенная функция) по формуле
дФ дФ
dxj dxj
4 (_l)J-18(x1.....xJX
X J Ф (x) dxt . . . dxj_! dxj+1 . .. dxn,
причем результат не зависит от выбора области G.
Глава III, § 4
1. Функция G(x) — G(xlr х^ называется эквива-
лентной однородной функции в окрестности точки М, если в этой окрестности существует локальная система
координат ?j.....\п, в которой функция О (х) становится
однородной функцией.
4. По произвольной формально однородной функции Ф (х) степени—п—т и области G, содержащей начало координат, строится обобщенная функция
Ф|_,= У Ф — ?(0)— ...
• • • тт ___ xi • • • хпп ~^~~~г~ dx 4-
.7
+ ^ Ф(х) ^ср(х)—ср(0) — ...
локально совпадающая с Ф (х) всюду, кроме нуля. Эта обобщенная функция однородна степени — п—т тогда и только тогда, когда выполняются условия
J Ф (х) х^1 . . . • со = 0 ( 2 <*j = т).
444 сводка основных определений и формул вып. 1
2. Индуктивное определение приводимой точки. Точка Xq на вещественной оси называется приводимой (относительно функции G(x), G(xQ) — 0), если G (х) в окрестности точки х0 эквивалентна однородной функции.
Точка М на поверхности G (хи . . ., хп) = 0 называется приводимой, если в некоторой окрестности точки М функция G эквивалентна однородной функции и пересечение поверхности О = 0 со всякой достаточно малой сферой с центром в точке М дает поверхность, каждая точка которой приводима на этой сфере.
3. Если локальные координаты в окрестности точки М можно выбрать так, чтобы однородная функция Q степени т зависела от k переменных и нельзя выбрать так, чтобы она зависела от k — 1 переменных, то точка М называется точкой k-го порядка и степени т.
4. Предположим, что поверхность 0 = 0 состоит лишь из приводимых точек. Функционал, определяемый сходящимся при ReX>0 интегралом
