Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
4. Обобщенная функция Gx (хи . . ., хп) в общем случае. Перейдем к обобщенным функциям Gx (хи .... хп), для которых поверхность G (хи .... хп) = 0 состоит из приводимых особых точек произвольного порядка от 1-го до «-го включительно.
Предположим для простоты, что G (хи х^) есть
многочлен. Мы докажем следующую теорему.
Обобщенная функция Gx (х±, . . ., х^), определенная равенством
(G\ ср) = J* . . . j Gx (хи . . ., хп) со (хг. . . ., х.п) dxt ... dx
п
G >0
для Re X > 0 и как аналитическое продолжение этого интеграла для остальных X, есть мероморфная функция от X, полюсы которой лежат на конечном числе арифметических прогрессий. Каждой связной компоненте поверхности G (хг, . . ., хп) = 0, состоящей из точек порядка г и степени т {см. п. 1), отвечает множество полюсов функционала GA[cp], расположенных в точках
т ' т
(1)
При этом, если имеются две, три и т. д. последовательные инцидгнтные друг другу связные компоненты поверхности Q = 0, состоящие из точек различных порядков, и значение X — Xq принадлежит двум, трем и т. д. последовательностям (1), отвечающим этим компонентам, то в точке Х = Хо обобщенная функция Gx(xt, .... х^ имеет полюс 2-го, 3-го и т. д. порядков.
26*
404 гл. ш. специальные типы обобщенных функций
Предположим, что полюсы по А. интеграла
J* . . . j Gx (хх.....хп) ср (хх.....хп) dxy . . . dxn, (2)
в> о
возникающие благодаря точкам порядка -s^ п — 1, нам известны. Тогда достаточно исследовать интеграл (2) по сколь угодно малой окрестности точки М п-го порядка.
Введем в этой окрестности локальную систему координат ^.....?п, в которой Р(?;.....S„) = G(jclf .... хп) —
однородная функция степени тп, и предположим, что ср (хх, . . ., хп) — 0 вне этой окрестности. Интеграл (2) обратится тогда в интеграл
Д№ = / ¦¦• /^&. yt(^. .... U^i ... d%n, (3)
D
где
fxx ... xn\
4» (Si.---- = .....xn)D^ ^ I,
a D — пересечение окрестности, в которой cpt ф 0, с областью P(?i, .... ?„) > 0.
При тех X, для которых интеграл (3) сходится, перейдем к сферическим координатам. В силу однородности Р (У .... 5„) получим
СО
h [<?] = f r^*-1 dr f Px .... U Ф &.....У) dQ. (4)
о г
где область Г есть пересечение единичной сферы с областью Р (?х, . . ., > 0, (?х.....%п) — точка на Г, Ьк — г%к,
dQ — элемент площади поверхности сферы.
Интеграл по Г есть интеграл по (п—1)-мерной сфере, на которой поверхность Р (У ...,?„) = 0, по предположению, имеет только приводимые точки и притом не выше (п—1)-го порядка.
Согласно предположению нам известны также полюсы этого интеграла и их кратности.
Вводя снова, как в п. 3, функционал, зависящий от двух комплексных параметров:
К * Ш = fr*dr f Р" . . ., 1j фх &.....U dQ.. (5)
4]
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X 405
и обозначая внутренний интеграл по Г через /х (г):
Л 00 = fPHl. .... Ут(?1. U^. (6)
г
мы придем к ситуации, рассмотренной в п. 3. А именно, при фиксированном |а Ф— п функционал I\, ^ [til имеет полюсы по X на конечном числе последовательностей и при фиксированном X, не принадлежащем ни одной из этих последовательностей, /х> ^ [cpt] имеет полюсы при \l = —1,
—2.....—п, . . . Единственное отличие от рассмотренного
в п. 3 случая, когда поверхность О (хх.....хп) = 0 состоит из точек не выше 2-го порядка, заключается в том, что благодаря индукции полюсы по X могут быть не только простыми, но и кратными.
Легко проверить, что лемма, сформулированная в п. 3, распространяется и на этот случай.
Полагая ji = Xm -|~ п — 1, мы получаем, что интеграл
со
J rxm+n-idrу*p^Ji, к., .... ^)ф(^.....in)dQ =
о г
^ f ... f Рх?и .... ^ф^, ... Ля =
D
= f ¦ ¦ • f °Х • • *п)?(*1.....• • • rf*r..
G>0
кроме полюсов по X, тех же, что у функции /х(г) (возникающих из-за точек поверхности G(xu хп) — 0, имеющих порядок меньше чем п), имеет полюсы в точках последовательности
Х = --^, _^±1..... _/L±*'. ... (7)
При этом если в точке X = Xq функция /х (г) имеет полюс кратности j» и Х0 принадлежит последовательности (7), то обобщенная функция Gx (хи .... хп) имеет в точке X = Х„ полюс кратности р-\-1. Тем самым наша теорема доказана.
406 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
Мы определили, при каких значениях X имеются полюсы у обобщенной функции
J* . . . j G* (*!.....хп) 9 (Xl.....xn)dx1 . . . dxn.
Для простейшего случая однородной неотрицательной функции G мы в § 1 видели, что с самых разных точек зрения естественно ввести понятие вычетов формально однородной функции, которые характеризовали бы особенности этой функции в начале координат, подобно тому как вычет аналитической функции характеризует ее изолированную особую точку. Для произвольной рассмотренной здесь функции G(xt, .... хп) с приводимыми особенностями мы можем аналогичным образом определить вычеты, связанные с функцией G.
А именно, если D есть максимальная связная компонента многообразия G = 0 порядка г и степени т, то под выче-
