Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Определим вычет этой аналитической функции при Х =— п. Мы имеем:
1]
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X 389
Так как функционал f (и>х.....ш„) определен на поверхности г=1, где (oi = xi, мы получаем, что вычет функционала Фх при Х =— п — k равен
з
где св1...„я = (/. *?' ... х'п).
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X
1. Определение приводимых особых точек. Пусть G (хх.....хп) — произвольная бесконечно дифференцируемая функция. В этом параграфе мы рассмотрим обобщенную функцию Gx(x1.....хп), т. е. изучим функционал
(G\ <р)= f Gx(xj.....xn)^(xv xn)dxx ... dxn (I)
<?>0
как аналитическую функцию от X. Особые точки этой аналитической функции тесно связаны с характером поверхности G(xu . . ., хп) = 0. Мы не будем заниматься случаем, когда поверхность G (хх, .... х„) = 0 произвольна, а ограничимся наиболее существенным во всех приложениях случаем, когда эта поверхность состоит лишь из точек, которые мы назовем приводимыми.
Функция G (хх.....хп) называется эквивалентной однородной функции в окрестности некоторой точки М, если в этой окрестности существует локальная система
координат ^..... ?я, в которой функция G(xx, хп)
превращается в однородную функцию. Ясно, что мы можем определить функцию, эквивалентную однородной, не только в аффинном пространстве, но и на любом аналитическом многообразии, например на сфере.
Определение приводимой точки поверхности мы дадим индуктивно по числу измерений пространства или поверхности. Предположим, что для поверхности в пространстве или на поверхности меньше чем п измерений приводимые
390 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
В окрестности приводимой точки М можно ввести локальные координаты 5Ь $„, в которых функция G превратится в однородную функцию от Sj, S„ степени т.
Если при этом локальные координаты можно выбрать так, чтобы функция G зависела от k переменных, и нельзя выбрать так, чтобы она зависела от меньшего числа переменных, то точка М называется точкой k-го порядка а степени т.
Таким образом, каждой точке поверхности мы можем отнести два числа: порядок k и степень т этой точки. В частности, если на поверхности G = 0 grad G Ф 0, то каждая точка этой поверхности будет точкой 1-го порядка и первой степени. Действительно, в окрестности любой такой точки можно выбрать в качестве одной из координат саму функцию G (хи .... хп) = ^ и какие угодно другие координаты ?2, . . ., %п. Ясно, что в этой системе координат функция G (хи хп) превращается в ?1( т. е. в однородную функцию первой степени от одной переменной. Значит, обыкновенная точка поверхности есть точка 1-го порядка и первой степени. Если поверхность G — 0, например, в трехмерном пространстве состоит из трех координатных пло-
рядка, а все остальные точки на координатных плоскостях суть точки 1-го порядка. Мы предоставляем читателю найти степени каждой из этих особых точек.
точки определены. Точку М поверхности G(хи .... хп)~0 мы будем называть приводимой, если:
1) в некоторой окрестности точки М функция G (хг.....хп)
эквивалентна однородной функции;
2) пересечение поверхности G (дгх.....хп) = 0 с достаточно малой сферой с центром в М дает поверхность, каждая точка которой приводима на этой сфере.
Для функции G(x) на прямой второе требование, естественно, отпадает. В этом случае точка х0, для которой G(xa)=0, называется приводимой, если в окрестности х0 существует такая обратимая бесконечно дифференцируемая функция % — Х(х), Х(хо) = 0, что
1]
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ л 391
Ввиду того, что изучение интеграла (1) в общем случае может вызвать у читателя затруднения, мы предварительно в п. 2 рассмотрим случаи, когда поверхность G = 0 состоит только из точек 1-го порядка, в п. 3 рассмотрим случай, когда на поверхности G = 0 имеются особые точки не выше 2-го порядка, и только в п. 4 рассмотрим общий случай.
В этом пункте нам понадобится теорема, которую мы приведем без доказательства.
Пусть G (хи .... хп) — многочлен. Если поверхность G = 0 состоит лишь из приводимых точек, то она разлагается на конечное число связных компонент, каждая аз которых состоит аз точек одного и того же порядка а одной и той же степени. А именно, на поверхности 0 = 0 имеется конечное число точек л-го порядка, конечное число линий (п—1)-го порядка и т. д., наконец, конечное число (п—1)-мерных компонент 1-го порядка.
Так как в окрестности точки 1-го порядка можно ввести локальные координаты, в которых наша функция G зависит от одного переменного, в окрестности точки 2-го порядка в соответствующих локальных координатах функция G зависит от двух переменных и т. д., то рассмотрение функций с приводимыми точками 1-го порядка сводится к изучению обобщенных функций от одной независимой переменной, рассмотрение функции с приводимыми точками 2-го порядка — к изучению обобщенных функций двух независимых переменных и т. д.
В заключение этого пункта заметим, что, как показано в п. 2 добавления 1 к гл. I, если имеется покрытие пространства счетной системой открытых областей D{, такое, что каждый шар пересекается только с конечным числом этих областей, то любая основная функция ср (х) предста-
