Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство этой теоремы Якоби вытекает из предложения 9 гл. 1 и формул (15). Метод интегрирования уравнений Гамильтона с помощью теоремы 12 был предложен Якоби в 1837 г. Якоби опирался на более ранние работы Гамильтона (W. R. Hamilton). Метод Гамильтона — Якоби восходит к исследованиям Пфаффа (J. F. Pfaff) и Коши (A. L. Cauchy) по теории характеристик уравнений в частных производных.
Определение. Если уравнение (16) имеет полный интеграл вида S(x, q) = ZSk(qh, хи ..., *„), то переменные q і,...
k
..., qn называются разделенными.
Предложение 5. Предположим, что в некоторых симп-лектических координатах . (р, q) = (ри ..., рп, qi,..., qn) функция Гамильтона Н(р, q) имеет один из следующих видов:
1) //=М/„_,(.../2(/і(Рі, Я\), P*, Яі).....Рп-и qn-i),Pn,qn),
1') H=Zf.(p., q.)/Zg,(p„ q.).
Тогда функции
2) Fi=fi(pu qi), F2=MMPb <7t). Pi, to),-.., Fn=Ht 2') F0=Ht F,=f.(p„ q,)—Hg(p„ q.), 1
образуют полный набор интегралов в инволюции гамильтоновой системы с гамильтонианом Я.
Рассмотрим для примера случай Г. Полагая /C=Jfo, запишем уравнение (16):
2/ dS \ г dS \ п
Л xo8kI^ ч=0-
Его полный интеграл можно найти в виде суммы
2 Skiern л*о» хь)< k
где Sftl как функция от qk, удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
18-2 139 Переменные x0, Xi.....являются первыми интегралами в
инволюции (теорема 12). Любые п из них в общем случае независимы.
Предложение 5 описывает наиболее простые и часто встречающиеся виды разделения переменных. При решении задачи Горячева—Чаплыгина (п. 2.3) мы уже фактически использовали разделение симплектических координат вида 1'. Отметим, что случаи 1 и Г предложения 5 могут встречаться в сочетании друг с другом, кроме того, возможны более сложные виды разделения переменных.
Пример 6 (Штекель (P. Stackel), 1895 г.). Пусть Ф — определитель матрицы ||ф<Л<7*)|| (1 «Si, j^n) а Ф^ — алгебраическое дополнение элемента ф^. Предположим, что в симплектических координатах pi,..., р„, qi,..., q„ функция Гамильтона имеет следующий вид:
п
<7.)/Ф(р. <7); (17)
i—1
тогда уравнения Гамильтона интегрируются. Полагая К(х) = = Xb запишем уравнение (16):
2 ф1т [2 x^k* (?"») -( <7mj] = 0.
Его полный интеграл можно найти в виде суммы s(x, q) = ^?sn(qm, x1,...,хп),
т
где Sk, как функция qk, удовлетворяет уравнению
f m (4?-' Ят) =2
Можно показать, что п функций
s
образуют полный инволютивный набор интегралов гамильтоновой системы с гамильтонианом (17). Д
Для отыскания разделенных переменных нет, конечно, никакого общего правила. «Поэтому мы должны идти обратным путем и, найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена»". Мы укажем здесь одну такую «замечательную подстановку», связанную с эллиптическими координатами в R".
'> Якоби, «Лекции по динамике».
140 Пусть 0<ai<o2< • • • — различные положительные числа. Для любого X= (Xi,..., x„)GRn уравнение
/^=SsS=1 (18)
определяет п действительных чисел А,|,..., А.«, разделяющих Oi,..., а„ (рис. 26). Числа Xi,..., Xn служат криволинейными координатами в Rn. Они называются эллиптическими координатами Якоби.
и I J
Aa* /ь
о Al I- / 3 г
Рис. 26
Можно показать, что
п I л
= П (U1 - Xs) / П (CL1-Us). (19)
J-I / J-I
I s+i
С помощью этой формулы нетрудно вывести соотношение
4 2 ^=JmA,
s s
Ms=U (h-K) lUfr-k)' (19')
U-s i I
Отметим любопытную двойственность формул (19) и (19'). Перейдем теперь к симплектическим координатам Xs, \is=MsXs/4. Тогда энергия свободного движения точки в Rn примет следующий вид:
И=± J Sc*=2 J Hs2 / Ms (X). (20)
Здесь непосредственно не видно, как симплектические переменные А., ц могут быть разделены. Воспользуемся следующей формулой Якоби: сумма
я „ _
у
^ П [Xs-K,)
s—11+s
141 равна нулю при т<п— 1 и равна 1 при т=*п — 1. С помощью этой формулы равенство (20) можно представить в следующей форме:
V т~° — 2 V J_
П (Ks-Xl) ^J П (Ks-Kl)
' t+S * i+S
Здесь Zrn-I=Я, а F0, F1,...,Fn^2 пока произвольны. Теперь переменные К, ц разделяются: мы можем положить
B-I я
т-0 j-l
Из этой системы уравнений найдем Fo, Fь ..., F9-2 как функции К, (і; они дадут нам полный набор независимых интегралов в инволюции.
Этот результат на первый взгляд может показаться тривиальным: полная интегрируемость задачи о движении по инерции точки в Rn очевидна с самого начала. Однако из полученных выше формул разделения переменных вытекает совсем не очевидный результат Якоби об интегрируемости задачи о движении точки по поверхности многомерного эллипсоида в отсутствии внешних сил (согласно принципу Мопертюи, траектории движущейся точки совпадают с геодезическими линиями). В самом деле, зафиксируем значение переменной Xi; скажем, Xi=O. Тогда Кг,..., Kn будут криволинейными ортогональными координатами на поверхности (n—1)-мерного эллипсоида 2х,2/а,= 1. Гамильтониан задачи о геодезических задается формулой (20), в которой надо положить Xi=O1 ці=0. Разделение переменных Хг, Цг,..., Х„, ц„ осуществляется по указанной выше схеме. Отметим, что в случае двумерного эллипсоида гамильтониан имеет вид Г из предложения 5. Если мы зафиксируем значение одной из переменных Хг,.. •, Х„, то тем же методом получим полную интегрируемость задачи о геодезических на многомерных гиперболоидах всех возможных типов. Результаты качественного анализа поведения геодезических на поверхности двумерного эллипсоида, основанного на формулах Якоби, можно найти в [6]. Якоби показал, что задача о движении по инерции по эллипсоиду останется интегрируемой, если на точку будет действовать упругая сила, линия действия которой проходит через центр эллипсоида.
