Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Вполне интегрируемые системы
В этом параграфе мы продолжим изучение гамнльтоновых систем, обладающих полным набором независимых интегралов в инволюции.
2.1. Переменные действие — угол.
Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 3 и интегральное многообразие Mt компактно. Тогда
1) малая окрестность М» в симплектическом многообразии M диффеоморфна прямому произведению DxTn, где D — малая область в Rn,
2) в DxTn существуют симплектические координаты /, Ф mod 2л (/??>, ф?Тп) такие, что в этих переменных функции Fi,... , Fn зависят лишь от /, а симплектическая структура имеет вид dlf\dф.
В частности, в переменных I, ф mod 2л функция Гамильтона вполне интегрируемой системы с инвариантными торами принимает вид H = H(I). При этом
I = -H4. = О, І =H1 = Ui(I). (2)
Следовательно, I(I)=I0. о>(/) — oi(Z0). Переменные I, «нумерующие» инвариантные торы в DxTn, называются переменны-
128 ми «действие», а равномерно меняющиеся координаты <р — переменными «.угол*.
Пример 3. Рассмотрим гамильтонову систему с одной степенью свободы с функцией Гамильтона H : R2{p, q)-*-R. Пусть A0 — некритическое значение функции Н, причем ее линия уровня H=h0 ограничена. Следовательно, при значениях А, близких к Ao, уровни Mh= {Н=А} диффеоморфны одномерным торам (окружностям). На каждом Mht очевидно, существует угловая координата <р mod 2л, равномерно изменяющаяся со временем. В этой задаче сопряженной переменной действие служит П(А)/2я, где П(А) — площадь области в R2, ограниченной Mh. Это вытекает из следующей легко проверяемой формулы:
dp/\dq=^dn/\d4.
По формуле Грина
/(A) = ^SS § Pdq.
H<h H-h
Значит, переменная / имеет размерность действия (по Гамильтону), что объясняет ее название.
Если H= (a2p2+b2q2)/2, то Mh — эллипс, ограничивающий площадь n(h)=2nh/ab=2nh/u> (u>=ab). Следовательно, для гармонического осциллятора переменная действие есть отношение энергии к частоте колебаний. Угловая переменная <р — это, конечно, фаза гармонических колебаний. А
<] В окрестности тора Mf^Tn за координаты можно принять функции Ii=Fi и углы <pfmod2n, существующие по теореме 3. Ввиду линейной независимости dFt, функции Iu <р< (IKiKn) задают диффеоморфизм окрестности Mf на прямое произведение DxTn (D — область в Rn= {/}). Введем в рассмотрение невырожденную матрицу скобок Пуассона {lb Iii Vi, Ф/>|1 II о аи {«Pi. h) {Фі. 4>y}ll II— ацЬп Согласно теореме 3, скобки {Ii, Фу} постоянны на Mp следовательно, al}=<iij(I). Покажем, что btj тоже зависят лишь от/. Действительно, по тождеству Якоби
{/\Я. {Ф,. + {«Ру, /="„,}}+ {<Р;, {Fm, Ф,}} = 0. Скобки (Fm, не зависят от Ф- С другой стороны,
am-V^iiiF <t\=y$hLa
aU-Jmt^-\r*> Vil=^l дф, Яя*'
Так как det IIeniJI =?0, то отсюда найдем dbuld4s как функции только /. Следовательно, ?,;={Ф„ ФД—JZj1-(J)*« Поскольку d<ii — однозЧачные 1-формы вблизи Mf, то /Jy==O.
17-1
129 Выполним замену переменных Zj =/,(Л.. • .,Л) так, чтобы if Д =6І;.. Для этого надо решить систему уравнений
«¦и/мл. ^)=2?^=?-
Условие разрешимости этой системы
дан дан V oe» „ V dais „
-O7J=-OJ-<=>Z sit a^ZsrrakJ
вытекает из тождества Якоби, примененного к функциям h, ф} и ф*.
Если переменные фі не коммутируют, то следует выполнить переход к новым угловым координатам \|>,- mod 2л с помощью сдвига фі = т|>і+М/). Функции определяются следующей системой уравнений:
ьч-тгг-тгг u<w<«>.
Условием ее локальной разрешимости является замкнутость 2-формы Hbijdlt/\dlj. Замкнутость этой формы вытекает из замкнутости исходной симплектической структуры. Итак, существование симплектических переменных действие — угол I, mod 2я полностью доказано. t>
Замечание. Пусть р, q — симплектические координаты в R2n и пусть Yi,..., Yn — непрерывно зависящие от постоянных /= {fи • • •, /п) базисные циклы на M1. Так как форма pdq—Idy замкнута, то разность
§pdq—§IdV = § pdq—2nls
і* У* Vj
постоянна. Следовательно.
0 <«<«)• (3>
поскольку переменные действие сами определены с точностью до аддитивной постоянной. Формулы (3) наиболее эффективны при анализе систем с разделенными переменными (см. §3). Д
Гамильтонова система с функцией Гамильтона H(I) называется невырожденной (в области DxTn), если якобиан
в области D. В этом случае почти все (в смысле меры Лебега) инвариантные торы нерезонансны, а резонансные торы всюду плотны в DxTn.
130 Система называется собственно вырожденной, если
Причина вырождения может быть в том, что число первых интегралов, определенных во всем фазовом пространстве, больше п (но не все они, разумеется, находятся в инволюции). Так, например, в задаче Эйлера о вращении твердого тела по инерции, имеющей три степени свободы, существует четыре независимых первых интеграла. Их совместные уровни расслаивают трехмерные инвариантные торы на двумерные торы. Эта ситуация описывается обобщением теоремы 8. Обозначим Fu ..., Fn+k независимые первые интегралы гамильтоновой системы с гамильтонианом H и пусть по-прежнему Mi = = Fi(X) =/„-, Считаем Mf связным л ком-
