Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
/ (0 е х{.
Покажем теперь, как аксиома Цорна позволяет до* называть теоремы существования для бесконечномер« ных пространств.
Существование базисов
^ Теорема 10.1. Любое векторное пространство В имеет базис. Каждое свободное подмножество Ь в Е может быть дополнено до базиса.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из второго, если принять за Ь пустое множество.
Обозначим через Ь свободное подмножество в Б (может быть, и пустое); пусть 3— множество всех свободных подмножеств ?, содержащих Ь, упорядоченное по включению. Тогда 3? непусто {так как Ь щ
78 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
е?) и индуктивно, так как любая цепь в имеет своей верхней гранью объединение входящих в нее подмножеств. Поэтому в З7 существует максимальный элемент В, и так как Ве^, то В — свободное подмножество в В. С другой стороны, если бы В не было множеством образующих для В, то существовал бы элемент а е В\ В, такой, что множество В и {а} было бы свободным и принадлежало 2", что противоречит максимальности В и Итак, В — базис В, содержащий В. ?
Существование дополнительных подпространств
? Теорема 10.2. Если В — векторное пространство, то каждое его ВПП X допускает дополнительное подпространство.
Доказательство. По предыдущей теореме X имеет базис А; поскольку А — свободное подмножество в В, его можно дополнить до базиса В пространства В. Тогда векторное пространство У = Уес1;(В\Л) будет дополнительным для X. ?
? Следствие. В каждом векторном пространстве размерности ^ 1 существуют гиперплоскости (дополнения к векторным прямым).
Продолжение линейных отображений
? Теорема 10.3. Пусть В, В — два левых векторных пространства над одним и тем же телом /С, X — ВПП Ь Е и /: — линейное отображение. Тогда / мож-
но продолжить до линейного отображения В->В«
Доказательство. Выбрав дополнительное к X подпространство У с: В, положим 1(х + у) — /(х) для любых (х, у)1Е XX У-
Следствие. Если элемент а векторного пространства В обращает в нуль любую линейную форму / на В: 1(а) == 0, то а = 0.
Доказательство. Допустим, что а Ф 0; тогда существует линейное отображение ф векторной прямой Ка Э К} такое, что ф (а) = 1 (ф определяется условием
ТО. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АКСИОМЫ ЦОРНА'
79
<p(?a)= X для любого X ? /С). Следовательно, ф продолжается до линейной формы f на ?, такой, что f(a) =1. ?
Приложение. Мы можем теперь сформулировать с полной общностью (см. § 7)
? Предложение 10.4. Каноническое вложение / векторного пространства Е в его второе сопряженное всегда является инъективным отображением.
Существование норм
Теорема 10.5. Каждое векторное пространство Е над R или С допускает норму\ в каждом векторном пространстве над R можно ввести скалярное произведение.
Доказательство. Если — базис в Е, то каж-
дый элемент х е Е однозначно представим в виде X == Yj xieU где I некоторое конечное подмноже-
і <= /
ство в / и (Xi)i(E.j — семейство скаляров. Легко видеть, что можно ввести три нормы N0, Nb N2 на Еу положив
N0 (де) = sup \х{ I, N,W= E U; I,
/є/ /є/
N2w = (E/uii2)1/2.
В случае поля iR норма N2 ассоциирована со скалярным произведением р, определенным на Е^Е равенством
Р ( Z x,eh ? УівЛ = ? ХіУі *).
\ІЄ/ І ? J ) і <= /
Построение нелинейных автоморфизмов группы (R, -f)
Мы знаем, что всякий монотонный автоморфизм группы (R, +) линеен, т. е. имеет вид хь->ах, где a ?IR*. Так же обстоит дело и с непрерывными авто-
*) Здесь под / можно понимать /1 и ^2, где /ь /2 — множе-* ства индексов для х, у, такие, что х — V х .е., у = ^
Прим. перев.
во ГЛ. И. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
морфизмами этой группы (см. [ЬР — АИ], т. 2* упр. II. 16). Применяя аксиому Цорна, мы можем построить нелинейный (а, значит, не монотонный и не непрерывный) автоморфизм (!К, +)•
С этой целью рассмотрим Р как векторное пространство над (?}; тогда 0 окажется векторным подпространством в К и для него найдется дополнительное подпространство У.
Следовательно, существует р-линейное отображение /: 1Р->Р, такое, что 1(х)=х для всех хеР и Цу)=2у для всех у^У (см. предложение 4.2). Оно определяется равенством /(х + у) = х + 2у для любых (х, у)^0ХУ. Это отображение / очевидным образом не линейно, но биективно и удовлетворяет условию
(V (и, о)е=Р2) / (« + о) = /(«) +По), т. е. является автоморфизмом группы (Р, +). ?
? Заметим, однако, что невозможно построить такое отображение элементарными средствами (так же, как нельзя указать в явном виде базис Р над С?); практически мы никогда не встречаемся с нелинейными автоморфизмами (Р, +).
В заключение заметим, что результаты, полученные в этом параграфе с помощью аксиомы Цорна, имеют чисто теоретический интерес, ибо невозможно предъявить объекты, существование которых в них утверждается. С другой стороны, использование этих результатов для получения «заодно» свойств конечномерных пространств (таких, как существование базисов или дополнительных подпространств), как это делается в некоторых курсах, было бы злоупотреблением: ведь это значило бы поставить в зависимость от аксиомы Цорна свойства, которые от нее не зависят.
