Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Контрпример 3. Пусть ? = /([Х]; эндоморфизм Р^-^ХР инъективен, но не сюръективен (образ не содержит констант). Аналогично, эндоморфизм
К [X] -+ к [X], ? акХк *-+ ? акХк~‘
6=0 6=1
сюръективен, но не инъективен.
b) Утверждение «любое ВПП в Е, изоморфное Е% совпадает с Е», верное в конечномерном случае (см, § 3 и 5), не имеет места в бесконечномерном случае.
Контрпример 4. Пусть Е = К[Х]\ подпространство ?о, образованное многочленами без свободного члена
п
вида Р= 2 ак%к> является образом Е при инъектив-
НОМ эндоморфизме Рн->АР и, следовательно, ИЗО'* морфно ?, но отлично от Е.
c) Утверждение «дополнительные подпространства для двух изоморфных ВПП Е\, Е2аЕ изоморфны», очевидное в конечномерном случае (уже ввиду одинаковой размерности дополнительных подпространств), в бесконечномерном случае ошибочно.
Контрпример 5. Пусть Е = К [X], а Е0 то же, что в предыдущем примере. Тогда Е допускает в качестве дополнительного подпространства {0}, а Ео— вектор ную прямую, составленную из скаляров,
Э. О БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
75
(1) Утверждение «пространство, сопряженное с Я, изоморфно Е» верно для конечномерного пространства Е над полем, но не имеет места в бесконечномерном случае.
Контрпример 6. Пусть Е [X]; так как последовательность (Хп) образует базис в ?, то задание линейной формы / на Е равнозначно заданию последовательности действительных чисел (1п — ! (Хп))п<ееы-ким образом, Е* изоморфно уже изученному нами пространству бесконечных последовательностей
действительных чисел, не изоморфному Е — К [XI (контрпример 2).
2° Некоторые свойства переносятся на случай бес-конечной размерности путем видоизменений в доказательствах.
Примеры, а) Если X—ВПП в Е, а У, I — два дополнительных к X подпространства, то У и I изоморфны.
Если Е имеет конечную размерность /г, то достаточно заметить, что А\тУ — п— А\тХ = А\тХ.
В общем случае обозначим через р, р проектирования Е на У, X параллельно X.
Тогда ограничение р на У будет линейной биекцией У на X, обращение которой будет ограничением р на X, и, следовательно, изоморфизмом (полученное соответствие между У и X определяется условием у—-~-г^Х,у^У,г^Х).
Ь) Если в Е имеется ВПП X, такое, что фактор-пространство Е/Х имеет конечную размерность 6, то у X существует дополнительное подпространство размерности к. Это предложение, вытекающее в конечномерном случае из теорем 3.5 и 4.3, остается в силе и для произвольного Е.
Действительно, пусть (е/) —базис Е/Х и для любого I е {1, 2элемент а* е Е таков, что р{а{) =» — вг (где р — каноническая проекция Е-+Е/Х). Для каждого х^Е координаты (*/) вектора р(х\ в базисе (е,)—это единственные скаляры, для которых
76 ГЛ. И. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
х — 2 хіаі е X ( так как эт*° соотношение равносильно
? = 1
к
Р М = Е Хіві 1
дополнительное подпространство к Х\ более того, семейство (аь ..., ак) свободное и, значит, біт У *= й.
с) Пусть, наконец, ? — действительное векторное пространство, снабженное скалярным произведением (симметричной положительно определенной билинейной формой). Тогда отображения Е в Е, сохраняющие скалярное произведение любых элементов, линейны5-это свойство, которое в школьных учебниках часто доказывается с применением базисов, т. е. в предположении конечномерности Е, справедливо и в бесконечномерном случае и доказывается очень просто следующим способом.
Пусть р: Е X Е Р — рассматриваемое скалярное произведение; по предположению о положительной определенности, р(ху л:) = 0 влечет х = 0. С другой стороны, пусть /: Е-+Е — отображение, удовлетворяющее условию
(V (х, у)<=ЕХЕ) р(ї (х), / (у)) = р (х, у). (1)
Обозначим через (х, у, к, р) произвольный элемент из ? X ? X К X К и положим
т==1(Хх + цу) — — РЇІУ)-
Применяя (1), найдем, что для любого Р (ю, / (2)) =: р (/ (кх + рг/), / (г)) — кр {Ї (х), / (г)) —
— РР (ї (У), Ї (г)) =
»= р (кх + ру, г) — кр (х, г) — цр {у, г) = 0.
В частности, р(ію, ї(х)) = р(т, !(у))= 0 в р(т, Ї (кх + рг/)) = 0, откуда в силу линейности р по второму аргументу получаем р(до, до)=0 и, значит, до = 0.
Отсюда вытекает линейность /\ ?
3° Наконец, имеются такие предложения, которые можно распространить на бесконечномерный случай,
\ Таким образом, У = Уесі:(аі,...,ай) —
10. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АКСИОМЫ ЦОРНА 77
только прибегая к использованию добавочной аксио-мб1 (аксиомы Цорна или какой-нибудь ей эквивалентной). Соответствующие примеры мы приведем в § 10,
10. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АКСИОМЫ ЦОРНА
Начнем с формулировки этой аксиомы.
^ Аксиома Цорна. Пусть X — индуктивное упорядо-ценное множество, т. е. такое, что любое его линейно упорядоченное подмножество (цепь) имеет верхнюю границу.
Тогда в X найдется хотя бы один максимальный элемент, т. е. такой элемент х, что не существует элемента ^е1, для которого у > X.
Напомним, что эта аксиома эквивалентна каждой из следующих:
Аксиома Цермело. Каждое множество может быть вполне упорядочено, т. е. снабжено таким отношением порядка, что любое непустое подмножество имеет наименьший элемент.
Аксиома выбора. Пусть [Х1){^1 есть семейство непустых множеств. Тогда существует отображение /:/->* И Хи такое, что для каждого /е/ имеем
