Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
-\-2tn при r = 0.....k—1, так что при k>\ (т. е. в случае,
когда Zi — корень кратности k—1 полинома f'(z)) имеется k направлений спуска по поверхности w = \f(z)\. Они разделяются k направлениями подъема при 8 + kcp = 2sn, s = 0.....k—1. Дей-
с, , .
ствительно, в этих направлениях —(г — ZxY = Rr и |/(г)|^>
Со
>1/(Zo)I(I 1 + Яг*|-/гг*|Ф(г-г,)|)> If(Z0)I (і +у Rr") > > |[(г0) I. Так что если Z\ есть корень производной кратности k — 1, то поверхность w = |f (г) | в окрестности точки Zi «гофрирована» так, что на ней имеется k «долин» спуска, разделенных k «хребтами» подъема.
Теорема. Полином с комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньшей мере один комплексный корень (т. е. поле Dl комплексных чисел алгебраически замкнуто).
Доказательство. Пусть f(z) — данный полином, отличный от константы. Пусть, далее, m = inf|f(z) | и Z1— точка, в которой If(Z1)I = Zn; она существует по лемме 5. Тогда f(2i) = 0, ибо иначе, согласно лемме 6, нашлась бы такая точка Z2, что |f (z2) | < <If(2O I = inf lf(z) |, что невозможно.
§ 2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной
1. Аргумент комплексного числа, изображение которого двигается по непрерывной линии. В этом параграфе мы несколько отступим от того уровня математической строгости, который принят в учебной математической литературе, и позволим себе чуть больше «верить своим глазам», прибегая к наглядным геометрическим представлениям.
Пусть комплексная переменная z меняется так, что ее изображение непрерывно двигается по некоторой непрерывной линии, не проходящей через начало координат. Это значит, что z = z(t) есть непрерывная функция от вещественного параметра t, меняющегося в замкнутом промежутке a ^ t ^ Ъ, причем г(/)#0 при
всех значениях г. Тогда радиус-вектор точки z(t) будет непрерывно поворачиваться вокруг начала координат, изменяясь по длине, но ни разу не сжимаясь в точку, и угол, который он образует с вещественной осью, т. е. arg г (0, можно считать тоже изменяющимся непрерывно (рис. 9). Таким образом, выбрав каким-Piic- 9. либо способом значение аргумента числа
г(а) в начале пути, можно выбрать значения аргумента z(t) при всех t так, чтобы в целом функция argг(г) оказалась непрерывной функцией параметра г. (Читатель,
§ 2] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 219
несколько искушенный в началах математического анализа, в состоянии дать более строгое доказательство этого утверждения, например по такой схеме. Пусть r=inf|z(Z)|. Тогда г > 0, ибо непрерывная функция \z{t)\ на замкнутом промежутке [а, Ь\ достигает своей нижней грани. В силу равномерной непрерывности непрерывной на [а, Ь] функции, можно разбить промежуток [а, Ь] на конечное число интервалов так, что в пределах каждого из них колебание компонент x(t) и г/(Z) функции z (Z) не превосходит
^r. Тогда z{t) на каждом таком интервале изменяется не более
чем в двух смежных координатных квадрантах, и здесь справедливость утверждения очевидна. Остается согласовать выбор аргумента на границах интервалов.)
Предположение о том, что z(Z) не обращается в нуль, существенно. Так, например, пусть z(t) = t при —I =?: Z=SIl. При Z < О аргумент z(Z) будет равен нечетному кратному л, а при Z>0— четному кратному. Выбор значений аргумента здесь нельзя так согласовать, чтобы сохранить непрерывность при Z = 0.
Пусть теперь имеется несколько непрерывных комплексных
функций Zi (0.....Zk(Z) от вещественной переменной Z, a =? Z =? Ь,
каждая из которых не обращается в нуль ни в какой точке данного промежутка. Тогда их произведение г(Z) = Zi(Z) ... Zu(t) — тоже непрерывная функция, не обращающаяся в нуль на этом промежутке. Выберем значения аргументов z\(t), zk(t) и z(t) при t = а так, чтобы аргумент z(a) был равен сумме аргументов Zi(o), Zk(a) (а не отличался от нее на четное кратное л). Тогда, при непрерывном, изменении аргументов, равенство argz(Z) = argZi(z)+ ... + argz*(Z) сохранится при всех Z, a ^ ^ t^.b. Действительно, разность argz(Z) — (argzi(Z)+ ... ... +argZft(Z)) может принимать лишь значения 0 и четные кратные я, причем равна 0 при Z = а. Но, будучи непрерывной функцией, она не может изменяться скачками и потому остается равной нулю при всех Z.
Пусть теперь линия, по которой двигается z, замкнута. Это значит, по-прежнему, что z = z(t)—непрерывная функция от вещественной переменной z, a :? Z ^ Ь, и z(b) = z(o). В этом случае, при непрерывном изменении аргумента, мы можем получить при Z = b значение аргумента, отличное от значения при Z=a. Разность значений аргумента может равняться только целому кратному й-2я числа 2я. Коэффициент k имеет ясный геометрический смысл. Он равен числу полных оборотов вокруг начала координат радиус-вектора точки z(Z) при обходе этой точкой ли-і
220
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
[ГЛ. IX
Рис. 11.
ний в направлении возрастания параметра г, с учетом знака в соответствии с направлением обхода.
Так, для приращения аргумента z(t) на рис. 10 при указанном направлении обхода k = 2, при противоположном k = —2.
