Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 8. Разложение элемента кольца главных идеалов на неразложимые множители единственно с точностью до порядка следования сомножителей и ассоциированности.
Тем самым, любое кольцо главных идеалов является факто-риальным кольцом.
Заметим, что кольцо вычетов Afp А кольца главных идеалов по неразложимому элементу р является полем. Действительно, если а принадлежит ненулевому классу по модулю р, т. е. не делится на р, то а и р взаимно просты и найдутся такие и, уєД что au-\-pv= 1, т. е. аи = l(modjo), так что класс, содержащий и, есть обратный для класса, содержащего а.
Оглянувшись назад, мы увидим, что теория делимости в кольце Z целых чисел и в кольце К[х] полиномов над полем фактически основывалась на том, что эти кольца являются кольцами главных идеалов. Именно, рассматривались идеалы аіА 4- а2А, относительно которых устанавливалось, что они главные.
Средством для этого была «теорема о делении с остатком», заключавшаяся в том, что для элементов а п b ФО существуют элементы о и г такие, что a = bq 4- г, причем г в некотором смысле меньше чем Ь. Уточняет это обстоятельство следующее определение:
Кольцо А называется евклидовым, если для любых элементов а и ЬфО существуют о и г такие, что а = Ъщ4- г и ф(г)<ф(6),
ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМ КОЛЬЦОМ
213
где ср — функция на А с неотрицательными целыми значениями (иногда еще дополненными символом —оо). В кольце целых чисел роль ф играла абсолютная величина числа, в кольце полиномов — степень полинома.
Всякое евклидово кольцо есть кольцо главных идеалов. Действительно, пусть M — идеал евклидова кольца. Обозначим через d отличный от нуля элемент идеала, в котором функция ф имеет наименьшее значение. Тогда все элементы идеала M делятся на й, т. е. M = dA, ибо иначе для остатка г = а — dq є Al от деления какого-либо элемента а на d имели бы ф(г)< q>(d).
ГЛАВА IX
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
§ 1. Существование корней в С
1. Элементы теории пределов для комплексных чисел. В настоящей главе полиномы рассматриваются только над полями .CJ и R как функции от комплексной или вещественной переменной, так что эта глава является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами (т. е. установление алгебраической замкнутости поля .С) носит название основной теоремы алгебры.
Выше, в § 5 гл. II, было дано определение предела последовательности комплексных чисел Zn = хпА-yni как такого числа с== = а + ft/, что а = lim хп, ft= lim уп. Предельное соотношение
lim zn = c равносильно соотношению \zn — с| —»-0, ибо
л->°°
max{\xn — a\, | уп — Ъ | )< | Zn — с \ = л/{хп — of + (уп — ft)2 <
< V2-max(|x„ — a I, \ yn — b\).
Последовательность Zn такая, что | 2л I л при некотором R9 называется ограниченной.
Для вещественных переменных известна теорема Больцано — Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.
Действительно, пусть Zn = хп-{-уni — ограниченная последовательность, т. е. \zn\<.R. Тогда \xn\<.R, так что хп есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность х„к ->- а. Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей у„к. Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность уп, -*-Ь.
Кт
Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходится, и ее предел равен а + Ы.
2. Доказательство основной теоремы. Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пусть f(z) — полином, рассматриваемый как функция от комплексной перемен-
СУЩЕСТВОВАНИЕ КОРНЕЙ в С
215
ной г. Представим себе «график» функции w = \f(z)\, считая, что значения z изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения |/(з)| откладываются вверх в направлении оси w. Мы установим, что f(z) и |/(z)| являются непрерывными функциями от z на всей плоскости комплексной переменной. Функция F(z) от комплексной переменной Z называется непрерывной в точке го, если достаточно близким к Z0 значениям z соответствуют сколь угодно близкие к F(Z0) значения F(z). В более точных терминах — для любого е>0 найдется такое б > 0, что IF(Z) — F(Z0) I < є, как только |z — z0|<o.
Непрерывность |/(z)| дает основания представлять себе график до = |f(z)| в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость w = 0, и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение Zo, в котором f(zo) = 0, и, тем самым, |/(z0)| = 0, т. е. что
ПОВерХНОСТЬ Ш = |/(2)| ДОХОДИТ ДО ПЛОСКОСТИ Ш = 0 В ТОЧКе Zo-
Мы докажем, что если дана точка на поверхности w = \ f (г) \ , которая расположена выше плоскости w = О, то в ее окрестности найдется точка поверхности, расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности ш = |/(г)| существует самая низкая точка, скажем, при z = z0. Она не может находиться выше плоскости w = 0, ибо тогда она не была бы самой низкой. Следовательно, |f(zo) | = 0 и, следовательно, /(z0) = 0, г. е. Z0 есть корень полинома f(z).
