Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 1. Характеристический полином оператора Si, действующего в пространстве S, делится на характеристический полином оператора si на инвариантном подпространстве Р. Частным от их деления является характеристический полином оператора, индуцированного оператором si на факторпространстве JS/P.
320
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ xii
Доказательство.
/ tE — А. В \ det(/?„-^) = det( \ tEn_k_AJ
По теореме об определителе ступенчатой матрицы
det (tEn — Л) = det (/?* — Ai) det {tEn-k — A2),
что и доказывает предложение.
Матрица оператора еще больше упрощается, если S разлагается в прямую сумму двух или нескольких инвариантных подпространств. В этой ситуации за базис S можно взять объединение базисов прямых слагаемых, и оператор si будет преобразовывать базис каждого из подпространств Р(- посредством матрицы ограничения оператора si на Pt, так что в целом матрица окажется блочно-диагональной:
A1 о ... о
Здесь Ai,A2,...,Ат — матрицы оператора si на инвариантных прямых слагаемых Pi, P2, Рт, а нулями обозначены нулевые матрицы надлежащих размеров.
Из сказанного следует, что для упрощения матрицы оператора нужно стремиться, насколько это возможно, разложить пространство 5 в прямую сумму инвариантных подпространств.
Предложение 2. Ядро и образ любого полинома от оператора si (в частности, самого оператора) являются инвариантными подпространствами.
Доказательство. Пусть вектор х принадлежит ядру оператора f(si). Это значит, что f(si)x=0. Но тогда sif(si)x= 0 и, в силу перестановочности значений полиномов, f(si)six = 0, так что six принадлежит ядру оператора f(si). Это значит, что ядро f(si) инвариантно.
Пусть теперь X принадлежит образу f(si), т. е. x = f(si)y. Тогда six = sif(si)y = f(si){siy), так что six тоже принадлежит образу f(si), что и означает, что образ f(si) есть инвариантное подпространство.
4. Циклическое подпространство и минимальный аннулятор вектора. Пусть в пространстве S действует оператор Si. Для некоторого вектора X из S построим наименьшее инвариантное подпространство, содержащее вектор х. С этой целью введем в рассмотрение совокупность х, six, ..., si*-xx, продолжая ее до тех пор, пока в первый раз не возникнет линейная зависимость, так что х, six, sih~xx — линейно независимая совокупность векторов, а х, six, sik~xx, sikx — уже линейно зависимая. Тогда
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 321
вектор sthx есть линейная комбинация предшествующих: stkx = — axstk~xx — ... — ak_xstx — akx.
(Мы сознательно взяли коэффициенты линейной комбинации со знаком минус.)
Пространство Р, натянутое на векторы х, stx, stk~xx, инвариантно. ДеЙСТВИТеЛЬНО, ЄСЛИ у Р, ТО У = C1X + c2stx + ... ... + CkStk~xX И SZy = C1StX-^C2St2X+ ... + Ck-ist^x+CkSf'x= = —- ск(а^к~хх + ... + ak-\Stx+ akx) + C1S^x + C2Sf-2X + ... ... + с k-Xsth~x X (= P', ибо все слагаемые принадлежат Р.
Далее, если Q — какое-либо инвариантное подпространство, содержащее вектор х, то оно содержит и векторы st-x, St2X, . . .,stk~lx,
и, следовательно, Q => Р. Таким образом, P есть минимальное инвариантное подпространство, содержащее вектор х; оно называется циклическим подпространством, порожденным вектором X. Равенство
stkx =—axstk~xx — ... — ak-Xstx — akx можно записать в виде
f(sS)x = О,
где /(г) = tk + axtk^ 4- ... +аь-it+ak.
Полиномы F(t), обладающие свойством F(st)x = 0, называются аннуляторами вектора х. Покажем, что f(t) является анну-лятором наименьшей степени среди ненулевых аннуляторов. Действительно, если b0tk~l + b\tk"2 + ... +bk-2t+bk-\ есть аннулятор для вектора х, то b0stk~xx + bxstk~2x + ... + bk-2stx+bk-\X= = 0, что возможно только при bo = b\ = ... = bk-2 = bk-\ = О, в силу линейной независимости х, stx, stk~xx. Поэтому полином f(t) называется минимальным аннулятором вектора х.
Предложение 3. Любой аннулятор вектора х делится на минимальный аннулятор.
Действительно, пусть F (t) — некоторый аннулятор вектора х и f(t)—минимальный аннулятор х. Поделим F(t) на /(/) с остатком: F(t) = q(t)f(t) + r(t), причем степень r(t) меньше степени f(t). Torда
F(st) = q (St) f (st)+ г (st) и F(st)x = q(st)f(st)x + r(st)x,
откуда r(st)x = 0, ибо F(st)x = 0 и f(st)x = 0. Следовательно, r(t) = 0, ибо f(t) — аннулятор наименьшей степени.
5. Матрица оператора на циклическом подпространстве и ее характеристический полином. Пусть в векторном пространстве S действует оператор st. Обозначим через P циклическое подпространство, порожденное вектором ^eS1 и пусть f(t)=tk + + U1 th~x + ... + ak+\t + ak — минимальный аннулятор вектора х. За базис P можно принять векторы х, stx, st2x, sth~1x. Под действием оператора st они превращаются, соответственно, в
322
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XII
six,si2x, sik~xx, sikx, причем sikx = — акх — a^stx— ..,
... — alsik~lx. Следовательно, матрица оператора si в этом базисе равна
0 0 ... О — ак
1 о
О 1
О — а О — а
4-і
ft-2
О О
1 — а.
