Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда видно, в частности, что для того, чтобы кольцо Z/(р) было полем, необходимо и достаточно, чтобы р было простым; так, например, Z/(2) есть поле, состоящее из двух элементов, изоморфное полю из двух элементов, определенному в п° 1.
4. Поле отношений кольца целостности
Поскольку каждый ненулевой элемент тела К обратим иг,, значит, регулярен относительно умножения, любое подкольцо-в К есть кольцо без делителей нуля; в частности, всякое подкольцо поля есть кольцо целостности. Мы покажем, что и, обратно,, каждое кольцо целостности может быть «погружено» в поле.
Более общим образом:
Предложение 4. Пусть А — коммутативное кольцо с операторами и А — результат его симметризации относительно одного лишь умножения (§ 2, теорема 1).
а) В А можно определить, и притом только одну, структуру кольца с операторами, индуцирующую в А заданную структуру.
б) Всякое представление / кольца с операторами А в кольцо с операторами А', переводящее каждый регулярный элемент из А в обратимый элемент кольца А', можно, и притом лишь единственным образом, продолжить до представления / А в А'.
11*
164 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 9
а) Будем, как обычно, считать А погруженным в А; тогда каждый регулярный элемент из А обратим в А и каждый элемент из А имеет вид ~ ,trgx?A,у?А и у регулярен. Попытаемся определить сумму двух элементов z = и z' = ~ш А таким образом, чтобы определенное так сложение индуцировало в А его аддитивный закон, а заданное в А умножение было дистрибутивно
ху CC 11
относительно этого сложения; так как Z = -^r и z =—4-, то
УУ уу
ИЗ ЭТИХ требований с необходимостью следует, ЧТО Z -|- Z = ХУ уу^ У •
Обратно, покажем прежде всего, что определенный так элемент из А зависит только от z и z', но не от их представления
Xi
в форме дробей; действительно, если z = ~> т0 ^1J/= яуц значит,
/ , , / \ , / \ Х\У'Х^'У\ ху'-,-х'у
(хуу + ху1)у=(ху + xy)ylt откуда —= -S--,— .
Без труда устанавливается, что так определенное в А сложение ассоциативно и коммутативно, что каждый элемент z = y
обладает противоположным z =—~ и, наконец, что умножение
дистрибутивно относительно этого сложения, так что эти два закона определяют в А структуру коммутативного кольца, являющуюся продолжением структуры коммутативного кольца, заданной в А.
Остается продолжить на А внешние законы кольца А так, чтобы по-прежнему выполнялись тождества (7) § 8; и это возможно здесь лишь единственным образом, ибо в силу указанного
условия, если а— оператор на А и z = y, то должно иметь
¦место равенство az=^-. Определенный так элемент az зависит
только от а и z, но не от представления z в виде дроби, ибо если
Іі = — , то а (х1у) = а (Xy1), и значит, (CCx1) г/ = (ах) ylv а опреде-У і У
ленный таким образом внешний закон действительно дистрибутивен относительно заданного на А сложения и удовлетворяет тождествам (7) § 8.
5
ТЕЛА
165
б) Если рассматривать в А структуру, определяемую одним лишь умножением, то, как мы знаем (§ 2, теорема 2), / продолжается единственным образом до представления / множества А, наделенного одним лишь умножением, в А' (наделенное одним
лишь умножением); / определяется формулой —І(х) (/(у))”1-
Остается .проверить, что, каковы бы ни были z? A, z'?A и оператор a, / (z-j ¦ z) = / (z) + / (-О и / (az) = а/(z); это не представляет труда.
Определение 2. Кольцом отношений (или кольцом дробей) коммутативного кольца А называется коммутативное кольцо, получающееся путем наделения результата симметризации А кольца А (относительно одного лишь умножения) структурой, определенной в предложении 4.
Предложение 5. Кольцо отношений А кольца целостности А есть поле; оно называется полем отношений (или полем дробей) кольца целостности А.
Действительно, поскольку каждый ненулевой элемент из А регулярен, каждый ненулевой элемент из А обратим (§ 2, следствие теоремы 1).
Предложение 6. Если кольцо целостности А содержится в (не обязательно коммутативном) теле К, то множество всех элементов асг/1 из К, где х пробегает А, а у — множество всех ненулевых элементов из А, есть коммутативное подтело тела К, изоморфное полю отношений кольца целостности А.
Это — непосредственное следствие второй части предложения 4, примененной к тождественному отображению А на себя; представление А в К, получающееся путем продолжения, в силу теоремы 1 необходимо является изоморфизмом.
5. Поле рациональных чисел
Определение 3. Полем рациональных чисел называют поле отношений кольца Z рациональных целых чисел; элементы этого поля, обозначаемого Q, называют рациональными числами.
]66 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 9
В Z определено отношение порядка х<. у (§ 2, п° 5), удовлетворяющее следующим двум условиям:
а) Ж г/ влечет Xji- z< y-j- z для всех г;
б) структура порядка, определяемая отношением есть
структура совершенно упорядоченного множества.
Покажем, что в Q можно определить отношение порядка, и притом только одпо, по-прежнему удовлетворяющее этим двум условиями индуцирующее вZ первоначальное отношение порядка (см. главу VI).
