Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Так как левые идеалы кольца А совпадают с устойчивыми подгруппами относительно структуры группы с операторами А, то на них распространяются все свойства устойчивых подгрупп группы с операторами (§ 6, п° 10). Так, пересечение семейства (Ctl) левых идеалов есть левый идеал; среди левых идеалов, содержащих заданное множество M CL А, существует наимеиыпий; он называется левым идеалом, порожденным множеством M, a M — системой образующих этого идела.
В частности, в кольце А, обладающем единицей е, левый идеал, порожденный множеством, сводящимся к одному элементу а, есть множество Aa всех элементов вида ха, где х пробегает А; действительно, это множество является левым идеалом, содержит а = еа и содержится в каждом левом идеале, содержащем а. Если при этом А коммутативно, идеал Aa = аА, порожденный элементом а, обозначается (а) и называется главным идеалом. ¦
Мы видели выше, что в кольце Z каждый идеал — главный.
Предложение 3. Левый идеал кольца А, порожденный объединением семейства (Ctl)l^i левых идеалов этого кольца, есть множество всевозможных сумм вида У X1, где Xl^al, a H — конечные
1?Я
подмножества множества индексов I.
Как легко видеть, множество всех сумм У X1 есть подгруппа
Itw
аддитивной группы А, порожденная объединением идеалов Ctl;
действительно, достаточно заметить, что если х = 2 xi и У =
кя
= Т. две такие суммы, то, положив X1 = 0 при іи у = О
Сік
при і К, можно написать х = У X1, у = У Ун а тогда
ієн U к IfHlJK
х + У — У (xI + Уі), где X1+ г/t.є CI1. С другой стороны, IfHIJK
для каждого z ? А имеем -z (У X1 ГД0 ZXi (Е •
l?H IfcH
6
КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ
147
Наконец, для каждого оператора а на А таким же образом имеем
« (? aO = T ax^ гДе OJzlGctl. і?Н і єн
Следствие. Наименьшим левым идеалом, содержащим конечное
TL
число левых идеалов Qi (1 ? < п), служит их сумма 2 аі-
і=і
По аналогии также левый идеал, порожденный объединением бесконечного семейства (си)^/ левых идеалов кольца А, называют суммой этого семейства и обозначают ^ cU (см- главу II, § 1).
«Li
Ясно, что левый идеал кольца А, порожденный произвольным множеством MdA, содержит левые идеалы ах, порожденные любыми элементами х ? M, и, таким образом, совпадает с суммой У а„. В частности: Предложение 4. В кольце А, обладающем единицей, левый идеал, порожденный непустым множеством MdA, совпадает с множеством всех сумм вида 2 xIai, еде (я4) — произвольные конеч-
І
ньге семейства элементов из М, a Xi — произвольные элементы из А.
Пример. Идеал кольца Z, порожденный множеством, состоящим из двух элементов тип, есть сумма (m)-j-(n) главных идеалов, порожденных каждым из этих элементов; :<ак всякий идеал кольца Z, он совпадает с некоторым главным идеалом (d) (d f N). Ho для того, чтобы главный идеал (а) содержал т, необходимо и достаточно, чтобы а было делителем т. Мы видим таким образом, что все общие делители рациональных целых тип являются делителями одного и того же. d ? N, которое само есть общий делитель т и п. Следовательно, d — наибольший из общих делителей ^ 0 чисел тип; поэтому его называют наибольшим общим делителем (сокращенно: н. о. д.) то и п, и мы видим-вместе с тем, что существуют (положительные или отряцательные) целые р Kq такие, что d—pm-\-qn.
Заметим, кстати, что наибольший идеал, содержащийся в идеалах (т) и (я), т. е. их пересечение (т) P1 (п), также совпадает с некоторым главным идеалом (г) (г ? N); аналогичное рассуждение доказывает, что каждое общее кратное рациональных целых т и п кратно г и что г — наименьшее из общих кратных чисел т и п; его называют наименьшим общим кратным (н. о. к.) т и п.
Эти рассмотрения легко обобщаются на любое конечное число рациональных целых чисел (см. главу VI).
10*
148
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 8
7. Максимальные идеалы
Определение 7. Максимальным левым идеалом кольца А называется каждый максимальный элемент упорядоченного по включению множества всех левых идеалов кольца А, отличных от А.
Пример. Максимальный идеал кольца Z — это главпын идеал (р), где р ]> 1 есть целое число, не обладающее никаким делителем q, удовлетворяющим неравенствам I < q < р; такое число называют простым; так, например, числа 2, 3, 5, 7 — простые.
Каждое целое п > 1 обладает простым делителем, ибо наименьший из делителей Ф\ числа п очевидно простой.
Можно также сказать, что в Z каждый идеал (п) Ф Z содержится в максимальном идеале; в такой форме это предложеняе является частным случаем следующей общей теоремы:
Теорема 2 (Круль). В кольце А с единицей каждый левый идеал, отличный от А, содержится в максимальном левом идеале.
В силу теоремы Цорна (Теор. мн., Рез., § 6, п° 10) достаточно доказать, что множество g всех левых идеалов ФА, упорядоченное по включению, индуктивно, т. е., каково бы ни было совершенно упорядоченное множество @ CZ 5, объединение ш всех входящих в него идеалов есть левый идеал Ф А. Ho так как никакой идеал из © не содержит единицы е кольца А, то е $ т; с другой стороны, так как каждое х ? nt принадлежит некоторому а € <$, то zx ? a CZ ш и ах g а Cl ш для каждого z 6 А и каждого оператора а на А; наконец, для любых двух элементов х и у из щ существуют идеалы а, 6, принадлежащие (У и такие, что х g а и у € Ь; так как один из этих идеалов содержит другой, то а; — у принадлежит одному из идеалов а, Ь и, следовательно, идеалу тп.
