Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что гомоморфизмы алгебраических структур (со всюду определенными законами) удовлетворяют условиям (MO1), (MO11) и (MOj11) § 2 главы IV Книги 1, характеризующим морфизмы.
Упражнения. 1) Рассмотрим алгебраическую структуру,
определяемую в множестве E заданием нескольких внешних законов. Показать, что эти законы можно (с точностью до полиизоморфизма) рассматривать как законы, полученные путем сужения единственного внешнего закона _L на некоторые подмпожества его области операторов. [Рассмотреть «сумму» (Теор. мн., Рез., § 4, п° 5) множеств операторов всевозможных внешних законов, задапных на ?.] Устойчивые подмножества множества E относительно заданной структуры и структуры, определяемой этим единственным законом X , одни и те же; каждое отношение эквивалентности, согласующееся с заданной структурой, согласуется с законом X, и обратно.
2) Напомним, что, отождествляя (допуская вольность) отношения эквивалентности в множестве E с определяемыми ими подмножествами произведения EXE (Теор. мн., гл. II), говорят, что отношение эквивалентности R содержит отношение эквивалентности S, если часть EXE, определяемая отношением R, содержит часть, определяемую отношением S (что означает, иными словами, что S влечет /?);. аналогично говорят опересечении семейства отношений эквивалентности.
а) Показать, что пересечение семейства отношений эквивалентности, согласующихся с алгебраической структурой, заданной в множестве Е, есть отношение эквивалентности, также согласующееся-с этой структурой.
б) Пусть аж b — заданпые два элемента из Е\ среди всех отношений эквивалентности R, согласующихся с рассматриваемой в E алгебраической структурой и удовлетворяющих условию a Ъ (mod R), существует содержащееся во всех остальных; это отношение Ra, ь называют отношением эквивалентности, полученным путем отождестеле-
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 4
ния а и b, a E/Rai I1—фактормножеством, полученным путем отождествления а и 6.
в) Если R — отношение эквивалентности, согласующееся с :а-данной в E алгебраической структурой, то существует семейство пар (аи &t) элементов из E такое, что R есть наименьшее отношение эквивалентности, содержащее все отношения Ra^ E/R называется фактормножеством, полученным путем отождествления аь и 6t для каждого і.
*3) Пусть E — мопоид (§ 1, п° 3) с мультипликативным обозначением.
а) Каково бы ни было множество AdE, отношение ух(А) =¦ уу (А) между элементами х и у из E есть отношение эквивалентности, согласующееся справа с заданным на E законом; будем обозначать его
Rd (А).
б) Пусть R — отношение эквивалентности, согласующееся справа с заданным на і? законом, и А — произвольный класс (modi?). Показать, что R влечет Rd (А) и что пересечение (упражнение 2) отношений Ra(A), где А пробегает множество всех классов modi?, есть следующее отношение эквивалентности (между элементами х и у из Е): «каково бы ни было z, xz = yz (mod R)».
в) Множество А Cl E называется разделяющим множеством, если
-і -і -і -і отпошение (А) П Yy (A)=F0 влечет ух(А)=уи(А). Показать, что
-і -і
если А —разделяющее, то отношение Ьх (А) П Sy (А)Ф0 влечет -і -і
бж (у1)=6у (А), и что классами эквивалентности mod R,\ (А) служат -і
множества Sx (А), где х пробегает Е, и множество W(A) тех х?Е, -і
для которых у» (А)=0. Пусть F — дополнение к W (А) в Е; при тех же условиях доказать, что отношения xz?F, yz ?F,xz = yz (mod Rll (A)) ялекут x = у (mod Rd (A)).
г) Пусть R — отношение эквивалентности, согласующееся справа с заданным на E законом и такое, что xz = yz (mod R) влечет х ~ у (modi?). Показать, что каждый класс mod і? является разделяющим множеством; если А — класс mod R, то, в введенных выше обозначениях, отношения, индуцированные в дополнении FkW (А) отношениями R и Rd(A), равносильны.
4) Показать, что каждое отношение эквивалентности в Z, согласующееся со сложением, имеет вид х^у (а), где а ? Z. [Показать, что класс числа 0 по такому отношению имеет вид a -Z, для чего рассмотреть наименьший элемент > 0 этого класса, если таковой существует.) Вывести отсюда, что если, в обозначениях упражнения 7 § 2. множество С конечпо и состоит из р элементов, то оно изоморфно множеству всех целых чисел по модулю р (наделенному сложением по модулю р)', то же верно и для множества D упражнения 8 § 2, если •оно состоит из р элементов.
I ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЗАКОНАМИ КОМПОЗИЦИИ 75
5) Пусть E и E' — множества, наделенные гомологичными алгебраическими структурами, и/— представление E в E'. Показать, что
если А'—устойчивое множество в E', то / (А') — устойчивое множество в Е.
6) Рассмотрим в свободном моноиде L (А), порожденном множеством А, следующее отношение R между словами и=(<ц)0<і<п и w=(6j)о<і<„: «существует такая подстановка я интервала [0, л], что Ьі=ая (і)» (иными словами, последовательности (я,-) и (Ь{) различаются лишь порядком следования членов). Показать, что R есть отношение эквивалентности, согласующееся с приписыванием в Ь(А)\ фактормножество L (A)IR называется свободным коммутативным моноидом, порожденным множеством А; показать, что он изоморфен устойчивому подмножеству произведения Nj4 (наделенного произведением законов сложения в сомножителях N), образованному всеми семействами (па)а ? А натуральных чисел такими, что па=0 для всех, за исключением конечного числа, индексов а.
