Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что вторая часть этого доказательства имеет силу независимо от каких бы то ни было предположений о кольце А.
В случае, когда А удовлетворяет условиям предложения 12, кардинальное число произвольного базиса свободного Л-модуля E называется также размерностью E и обозначается dim^ E или dim#.
Замечания. I) В случае, когда А — тело и E обладает конечным базисом, предыдущее определение совпадает с данным в п° 2 § 3 главы II.
2) Условия предложения 12 выполнены, в частности, для каждого коммутативного кольца А (с единицей), ибо, в силу теоремы Круля (гл. I, § 8, теорема 2), существует гомоморфизм кольца А на поле (гл. I, § 9, теорема 2); в случае, когда E обладает конечным базисом, мы так другим способом вновь получаем следствие 2 теоремы 2 § 5.
3) Большинство свойств конечномерных векторных пространств уже пе распространяется на конечномерные Л-модули над коммутативным кольцом А. Например, идеал в А не обязательно обладает базисом (см. главу II, § 1, п° 6, замечание 1 после определения 8, и главу VII, § 1, упражнения 1 и 12); подмодульF свободного модуля E может быть свободным, отличным от E и иметь ту же размерность, что и Е, как показывает пример главных идеалов в А; тот же пример (в случае, когда А есть кольцо целостности) показывает, что
*) Card (E) означает мощность (кардинальное число) множества Е. — Перев.
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
свободный подмодуль свободного А -модуля не обязательно обладает дополнением.
Упражнения. 1) Пусть E — правый Л-модуль и F — левый Л-модуль. Пусть, далее, / — функция, определенная на множестве S всех конечных последовательностей ((X1, ух), (х2, у2),...,(хп, уп)) (п произвольно) элементов из EXF, со значениями в множестве G, такая, что
/((іьїі), •••, (*n.2/n)) = /((*a( 1)’ 2/(7(1)).Ып)’ Уа(п)))
для каждой подстановки a g Sn;
2° f((xi + x'u Уі)’ •••> (хп, Уп)) = 1 ((жі> Уі), (х[, Уі)і •••> (хп, Уп))\
3° / (К, + •••> іхп, Уп))=/((хі, Уі)> (?. У'і)....(?. Уп)) і
40 f ((X1X, Уі), •••, (*п. Уп)) = ї((х I. ^l)- •••, (*п> 2/п))-
Показать, что существует, и притом единственное, отображение g
П
группы E ®4/в G такое, что/((Z1, Уі), ..., (хп, yn))=g (2 (щ®Уі))-
І— I
^Заметить, что если ^ Оч 0Уі)=^ (х\ ®У])і т0 разность ^ (^ii 2/г) — г j г
— S Б м°ДУле Z^exf) есть линейная комбинация с целыми
і
коэффициентами элементов ОДНОГО из типов (1).]
2) а) Пусть E — коммутативная группа, наделенная структурами правого и левого векторных пространств над полем К, внешние законы которых перестановочны. Предположим, кроме того, что размерности E как правого и левого векторных пространств над К обе равны одному и тому же конечному числу п. Показать, что в E существует семейство элементов, являющееся базисом E
для каждой из этих двух структур векторного пространства над К. [Заметить, что если (6?)1<;<т—семейство то<л элементов из Е, свободное при каждой из двух структур векторного пространства в Е, и F — правое, а W — левое векторные подпространства, порожденные элементами bj, то либо V\W Ф Е, либо F Г) CWw W M CF не пусты; в этом последнем случае показать, что y-\-z, где у ^ Vf] CW и z ( W П CF, образует вместе с элементами bj семейство т -)- 1 элементов, свободное при каждой из двух структур векторного пространства в E.]
б) Пусть F — коммутативная подгруппа в Е, являющаяся его векторным подпространством при каждой из двух структур векторного пространства в E и такая, что обе индуцированные структуры векторного пространства в F обладают одинаковой размерностью р<п (см. упражнение 36). Показать, что существует семейство (“г)і<г<п п элементов из Е, являющееся базисом для каждой из двух структур
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ IXl
481
векторного пространства в Е, первые р элементов которого образуют базис для двух структур векторного пространства в F. [Тот же метод.]
в) Пусть —семейство п — 1 элементов из Е, свобод-
ное при каждой из двух структур векторного пространства в Е. Пусть, далее, V — левая и W — правая гиперплоскости, порожденные этим семейством. Показать, что если V Cl W (соответственно W d F), то V=W. [Используя соотношение V CT W, показать, что если a§W, то множество тех X ? К, для которых Xa 6 W, есть идеал.]
°3) а) Пусть K=K0 (X)]— поле рациональных дробей над полем K0 (гл. IV, § 3). BK определены: 1° структура левого векторного пространства над К, в которой произведением t-u элемента и ? К па оператор t С. К является рациональная дробь t(X) и (Х)\ 2° структура правого векторного пространства над А', в которой произведением u-t элемента и С К на оператор I C К является рациональная дробь и (X) t (X2). Показать, что внешние законы этих двух структур перестановочны, структура левого векторного пространства имеет размерность 1, а структура правого векторного пространства — размерность 2. Получить отсюда примеры коммутативных групп Е, наделенных структурами левого и правого векторных пространств над К, внешние законы которых перестановочны, а размерностями являются произвольные целые числа.
б) Получить из а) пример коммутативной группы Е, наделенной структурами левого и правого векторных пространств над AT, внешние законы которых перестановочны и которые имеют одинаковую конечную размерность, но при этом E содержит подгруппу F, устойчивую относительно обоих внешних законов на E и такую, что две индуцированные в F структуры векторного пространства имеют различные размерности. 0
