Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
358
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 2
I ¦ ах = (te) 0 а%. Наконец, последнее утверждение теоремы есть непосредственное следствие предложения 2, раз только E отождествлено с подмодулем (над А) модуля Е(в).
Предположения теоремы 1 выполнены, в частности, когда E — векторное пространство над полем А, а В — надтело этого поля (коммутативное или пет), содержащее А в своем центре; к этому случаю мы всюду п будем ее применять.
3. Модули над кольцом целостности
Рассмотрим теперь модули над кольцом целостности А (гл. I,
§ 8, п° 3) и векторные пространства, получающиеся из них путем расширения А до его поля отношений (гл. I, § 9, п° 4).
Теорема 2. Пусть А — кольцо целостности с единицей (обозначаемой 1) и К —его поле отношений. Пусть, далее, Е —произвольный унитарный A-модуль, E да — векторное пространство над К, получающееся путем расширения кольца операторов модуляE до К, и ф — каноническое отображение х—.> 1 ® х модуля E в E(K)- При этих условиях:
I0 Векторное пространство 2?да равно Kty(E) (множеству элементов Kz, где 1K пробегает К, a z пробегает фС#)).
2° Для того чтобы ф (х) Ф 0, необходимо и достаточно, чтобы х был свободным элементом в Е.
I0 Каждый элемент из ЕІК) имеет вид z = 2 ?іФ (xt), где
І
и Xi^E (предложение 2); для каждого і существует OciG А такое,
что CCi Ф 0 и (ZiIi б А; поэтому а = [|ос4=^Ои 0? = Pi принадлежит А
І
для каждого і; следовательно, в E(K)
z = а-1 (аz) = а 1 2 РіФ (Xi) =«4(2 Mt) >
і г
поскольку ф Л-линейно.
2° Если элемент х?Е не свободный, то в А существует а ф О такое, что ах = 0; тогда в векторном пространстве Е(щ имеем осф (х) = ф (ах) =0, откуда ф (ж) = 0.
Обратно, предположим, что ф (ж) = 1®ж=0 в KtgE, и покажем, что элемент х не свободный. Согласно предложению 8 § 1, в К (рассматриваемом как Л-модуль) существует подмодуль K1,,
РАСШИРЕНИЕ КОЛЬЦА ОПЕРАТОРОВ МОДУЛЯ
359
содержащий А, порожденный конечным числом элементов Iig К и такой, что 1 ® х = 0 также в тензорном произведении K1 ® Е. Ho, как мы видели в 1°, в А существует афО такое, что все Pi = O^i принадлежат А. Отсюда сразу следует, что каждый элемент из K1 имеет вид ос"1!, где А, иными словами, что K1 содержится в А-модуле Ka = аГхА. Очевидно, I ® х = 0 в тензорном произведении Ка®Е. Ho отображение >а\ есть изоморфизм А-модуля
Ka на ./1-модуль А; при этом, согласно предложению 5 § 1, канонический изоморфизм А ® E на E относит тензорному произведению К® х элемент Xx^ Е\ поэтому существует изоморфизм Ка® E на Е, относящий тензорному произведению \ ® х элемент (а?,)х? Е. Следовательно, предположение, что 1®:с = 0 в Ка®Е, влечет, что ах —0 в Е, иными словами, что элемент х ?Е не свободный.
Следствие 1. Пусть Е — унитарный A-модуль, все ненулевые элементы которого свободные. Тогда его каноническое отображение ф в векторное пространство F-Eqq есть А-изоморфизм такой, что:
1° Векторное пространство F равно Kff(E).
2° При отождествлении E посредством изоморфизма ср с модулем ф (E) каждое А-линейное отображение / модуля E в произвольное векторное пространство G над К однозначно продолжается до К-линейного отображения / пространства FeG; при этом, если / — А-изоморфизм E в G, mo f есть К-изоморфизм FeG.
Нужно лишь убедиться в том, что вместе с / также / является изоморфизмом; но так как каждый ненулевой элемент из F имеет вид rKx, где X^ К, х ? E, Хф 0 и х ф 0, то / (Xx) = Xf (х) Ф 0, поскольку f (х) Ф 0 в силу предположения.
Векторное пространство Е(К), получающееся из унитарного A-модуля Е, все ненулевые элементы которого свободные, путем расширения кольца операторов А до его поля отношений К, будет называться векторным пространством, ассоциированным с Е\ при этом E всегда будет отождествляться с его образом в Eqq при каноническом изоморфизме X—>1®х.
Размерность Е(щ будет называться рангом <4-модуля Е\ более общим образом, ранг любого множества MClE будет, по опреде-
360
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 2
лению, считаться равным рангу канонического образа M в Em, т. е. (гл. II, § 3, п° 2) размерности векторного подпространства, порождаемого этим образом. Рангом каждого отображения g множества L ъ E будет считаться, по определению, ранг g(L).
Следствие 2. Пусть E — унитарный А-модулъ, все ненулевые элементы которого свободные. Всякий его А-изоморфизм "ф в векторное пространство F1 над К такой, что F1 = Kty(E), продолжается до К-изоморфизма векторного пространства F = Eyo, ассоциированного с Е, на векторное пространство F1.
Это непосредственно вытекает из следствия 1 и условия F1 = = Kty(E).
Следствие 3. Множество S всех зависимых элементов произвольного унитарного A-модуля E является его подмодулем', все ненулевые элементы фактормодуля Е/S свободные, а векторное пространство Ецq изоморфно векторному пространству, ассоциированному с модулем EfS.
Действительно, S есть прообраз нуля относительно канонического Л-линейного отображения ф модуля E в К ® E, и ф (E) изоморфно Е/S; так как Em = Ky(E), то Em изоморфно векторному пространству, ассоциированному с E/S.
