Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
2) Тензорное произведение двух модулей, не сводящихся к О, может сводиться к 0. Например, для Z-модулей E = Z/(2) и F=XI(1A) имеем 2х = 0 и Зу — 0, каковы бы нп были х ? E и у ? F; следовательно,
xgy = 3 (xtgy) — 2 (*01/) = (J fg)(Hv)) - ((2x)gy) = 0
для всех х ? E и у ? F.
В связи с этим примером см. ниже следствие предложения 6.
3) Заметим, что отображение (х, у) —>- х g у произведения EXF в EgF вообще не взаимно однозначно, поскольку для х ф- 0 имеем 1®0 = 0®0 = 0; поэтому E X F нельзя рассматривать как часть EgF.
Резюмируем основные свойства тензорного произведения EgF:
Схолия. Линейные отображения EgF в произвольный A-модулъ N связаны с билинейными отображениями ExFeN следующим взаимно однозначным, соответствием: линейное отображение / модуля EgF в N определено, если известно его значение f(xgy) для каждой пары (х, у) € E х F и отображение (х, y)—>f(x(g у) билинейно. Обратно, для определения линейного отображения
22*
340
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. Ill, § 1
EQF в N достаточно задать отображение (х, у) —=> g(x, у) произведения ExF в N, проверив его билинейность; тогда существует, и притом единственное, линейное отображение f модуля EQF в N такое, что f (xQy) = g (х, у) для всех (х, у)?Е X F.
В частности, незачем проверять, что ^ (xi ® Уi) = 2 (x'k ® У'ь)
г к
влечет 2 g(xi> У і) = 2 ? (xIt ’ УкУ’ это есть следствие определения тен-
i ft
зорпого произведения и предположенной билинейности g.
Для дальнейших приложений (§3) будет полезно вывести из предыдущего следующее правило определения билинейного отображения произведения G1X G2 тензорных произведений G1 = E1 ®F1 и G2 = EiQFi в модуль N; достаточно задаться отображением g произведения E1X F1X E2X F2 в N таким, что каждое из частичных отображений (^1, y1)-^g(x1, уи х2, у2) и (х2, у2)~¦> —>g(xn У2) билинейно-, тогда существует однозначно опреде-
ленное билинейное отображение / произведения G1XG2 в TV такое, что тождественноKx1QJz1, X2Qy2) = g (хх, ух,х2, y.z). Действительно, для каждой пары (х2, у2) существует линейное отображение uX2t Уг тензорного произведения G1 в N такое, ЧТО Ux^ у (X1Qy1) = = У2): и отображение (хг, у2)Ux^y2 произведения
E2X F2 в X (G1, N) билинейно; поэтому существует линейное отображение V тензорного произведения G2 в X (G1, N) такое, что V (X2Qy2) = Ux^ у2, и справедливость утверждения сразу следует из предложения 1.
3. Свойства тензорных произведений
Предложение 4. Тензорные произведения EQF и F(X)E изоморфны («коммутативность» тензорного произведения).
Действительно, так как (х, у) —> уQx есть билинейное отображение ExF в FQE, то (п° 2, схолия), положив и (xQy)=yQx, мы определим линейное отображение и модуля EQF в FqE; точно так же, положив v (yQx) = xQy, мы определим линейное отображение V модуля FQE в EqF; так как uov п v°u — соответственно тождественные отображения FQE и EQF в себя, то и и у — взаимно обратные изоморфизмы (Теор. мн., Рез., § 2, п° 12} (которые будут называться каноническими).
H
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ
341
Предложение 5. Для каждого унитарного A-модуля E тензорное произведение А&Е изоморфно Е.
Действительно, отображения и (а&х) = ах и v(x) = t0x (где s — единица кольца А) определяют линейные отображения и модуля AQQE BEnv модуля E в А0)Е; очевидно, и ov есть тождественное отображение E на себя, а в» и, в силу соотношения е®(ссх) = а&х, —тождественное отображение A(g)E на себя; следовательно, и и V — взаимно обратные изоморфизмы (которые будут называться каноническими).
Следствие. Тензорное произведение А®А A-модуля А на себя изоморфно А.
Таким образом, канонический изоморфизм А®А на А относит элементу a(g,p произведение оф в А.
Предложение 6. Пусть M — подмодуль модуля EuN-подмодуль модуля F. Тензорное произведение (E/M)(g,(FIN) изоморфно фактормодулю (E@F)/T (М, N), где Г (М, N)- подмодуль в E0F, порожденный элементами х®у с х? M или у ?N.
Применим критерий предложения 3. Обозначим соответственно через х—>х и у—>у канонические отображения E на EjM и F на F/N, а через со — каноническое отображение E <g) F на S = (Е <g) F)/Y(M, N). Тогда (х, у) —-> со (х 0 у) есть билинейное отображение ExF в 5, аннулирующееся, в силу определения со и Г (Л/, JV), как для х = 0 (mod М), так и для г/ = 0 (modiV); это показывает, что со (х 0 г/) зависит лишь от класса х элемента х (mod М) и класса у элемента у (modiV), так что можно написать ® (х <S> У) — и (х, у). Отображение и произведения R = (Е/М) X (FIN) в S билинейно, и ясно, что элементы вида и(х,у) порождают S.
Пусть теперь / — билинейное отображение произведения R в произвольный А -модуль Q. Для любых х?Е, у g F положим fx(x, у) = -~f(x,y)\ так как /, — билинейное отображение ExFв Q, то существует линейное отображение модуля E ® F в Q, такое, что
?i (х®у) = /i {х, у) = / {х, у)\ тогда g1 (х ® у) аннулируется как для х — 0 (mod Al), так и для у (mod N) и, значит, аннулируется на Г (Al, N)-, отсюда вытекает (гл. II, § 2, предложение 1), что
342
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. Ill, § 1
