Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Так как тело К канонпчески наделено структурой (одномерного) левого векторного пространства над К, то его можно рассматривать как одномерное аффинное пространство. Аффинное отображение аффинного пространства E (над К) в аффинное пространство К называется также аффинной функцией (или аффинной линейной функцией). Таким образом, если принять в E за начало какую-нибудь точку а, то каждая аффинная функция на E допускает однозначно определенное представление в виде х—>а+ v(x), где а?К, a v — линейная форма на полученном так векторном пространстве Е; тем самым аффинные функции на E образуют правое векторное пространство над К, имеющее размерность, равную І+dimi? (если размерность E определена). Если м — не постоянная аффинная функция на E и X g К, то множество всех х?Е, удовлетворяющих уравнению и(х) = Х, есть гиперплоскость; обратно, для каждой гиперплоскости H пространства E существует аффинная функция м0 на E такая,
316
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
-1
что H=U0(O), и каждая аффинная функция и, для которой
Н=и (0), имеет вид и0[1, где [і?ЛГ (§4, предложение 9). Если и — аффинная функция на Е, то гиперплоскости, определяемые уравнениями и(х) = а и и(х) = $, параллельны.
Упражнения. 1) Четверка точек (a, b, с, d) аффинного пространства E над телом К называется параллелограммом, если Ь — а= =с — d, причем в этом [случае и (a, d, с, b) — параллелограмм. Показать, что если К — характеристики ф 2, то середины пар (а, с) и (6, d) совпадают; что можно сказать в случае, когда Л"—характеристики 2?
2) Пусть а, Ь, с, d — любые четыре точки аффинного пространства E над телом характеристики Ф 2. Показать, что если х, у, z, t — середины пар (а, Ь), (Ь, с), (с, d) и (d, а), то (х, у, z, t) — параллелограмм (упражнение 1).
3) Пусть К — тело характеристики Ф 2, E—аффинная плоскость-над К и а, Ь, с, d — четыре ее точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Обозначая через Dxy прямую, проходящую чере» точки ха у, допустим, что прямые Da^ и Dcd имеют общую точку е, а прямые Dad и Dilc — общую точку /. Показать, что середины пар (а, с), (b, d) и (е, /) лежат на одной прямой. Во что переходит это свойство, когда Dab и Dcd или Dad и D^c параллельны? Случай тела К, состоящего из трех элементов.
4) Пусть К — тело характеристики Ф 2 и Ф З, Е— аффинное пространство над К, а, Ь, с — три его точки, не лежащие на одной прямой, и а', 6', с' — соответственно середины пар (Ь, с), (с, а) и (а, Ь). Показать, что прямые Daa,, Dbb, и Dcc, проходят через центр тяжести тройки точек а, Ь, с. Во что переходит это свойство, когда К — характеристики 2 или 3? Обобщить на систему п аффинно независимых точек.
5) Для того чтобы непустое множество V точек аффинного пространства E над телом К, содержащим по крайней мере три элемента, было литейным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы для любой пары (х, у) различных точек из V прямая Dxy, проходящая через х и у, вся целиком содержалась в V. Если К состоит из двух элементов, то для того, чтобы V было линейным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы центр тяжести любой тройки точек из V принадлежал V.
6) а) Пусть E — аффинное пространство над телом К. Для того чтобы аффинное отображение и этого пространства в себя преобразовывало каждую прямую в параллельную ей прямую, необходимо и достаточно, чтобы линейное отображение и, ассоциированное с и, было гомотетией t —yt с коэффициентом у ф 0, принадлежащим центру тела К. Если Y=Ii то и — перенос; показать, что если Y Ф 1.
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ1ПРОСТРАНСТВА
317
то существует, и притом только одна, точка а ? Е, для которой и (а)= = а. Если принять а за начало в Е, то и совпадет с некоторой центральной гомотетией относительно определенной так структуры векторного пространства в Е\ и называется тогда центральной гомотетией аффинного пространства E с центром а и коэффициентом у.
б) Пусть U1 и м2 — аффинные отображения E в Е, каждое из которых есть перенос или центральная гомотетия этого пространства. Показать, что и U1U2 есть его перенос или центральная гомотетия; показать, что если U1, м2 и M1M2 все три являются центральными гомотетиями, то их центры лежат на одной прямой. Что можно сказать в случае, когда M1 и м2 — центральные гомотетии, a M1M2 — перенос?
в) Показать, что множество H всех переносов и центральных гомотетий является нормальной подгруппой аффинной группы пространства E и что HIT изоморфно мультипликативной группе центра тела К; показать, что группа H может быть коммутативной только когда H=T, иными словами, когда центр тела К состоит лишь из двух элементов.
*7) Пусть E (соответственно E') — аффинное пространство конечной размерности п > 2 над телом К, содержащим по крайней мере 3 элемента (соответственно над телом К'), и м — инъективное отображение ЕьЕ', преобразующее любые три точки, лежащие на одной прямой, в три точки, лежащие на одной прямой, и такое, что линейное многообразие в E', порожденное множеством и (E), равно E'.
а) Показать, что и преобразуют любую систему аффинно независимых точек из ? в систему аффинно независимых точек. [Использовать упражнение 5.]
