Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
имеющий А своей областью операторов, положив ах= ^ п} (Xx)
X?L( Q)
для каждого a= V п^Х (? 6 Z). Без труда проверяется, что этот
XEL(Q)
внешний закон удовлетворяет аксиомам (M1), (M11) и (M111), тем самым определяя в E структуру унитарного левого А -модуля, и что эта структура удовлетворяет поставленным выше условиям I0 и 2°.
Описанный метод применим к любым коммутативным группам с операторамн; но, рассматривая коммутативные группы с операторами, удовлетворяющие некоторым дополнительным аксиомам, часто можно удовлетворить условиям 1° и 2° (в предположении, что фигурирующие в условии 2° коммутативные группы EmF обе удовлетворяют рассматриваемым аксиомам), ассоциируя другим способом структуру модуля со структурой группы с операторами в Е.
Часто встречающийся важный частный случай — это случай коммутативных групп с операторами, имеющих лишь один внешний закон, причем областью операторов его служит мультипликативный
IO
АЛГЕБРЫ
297
моноид S (чаще всего являющийся группой), так что тождественно афх)=(а$) х (где сф — произведение а и P в S). Если в этом случае В — моноидная алгебра моноида S относительно Z, то мы получим структуру S-модуля в Е, обладающую требуемыми свойствами, для каждого а = V пхХ (тг? g Z) положив ах =S^nx(Xx) (заметим, HS " X?S
впрочем, что то что мы делали выше для общего случая, состояло прежде всего в сведении к рассматриваемому частному случаю путем определения на E внешнего закона с областью операторов L(Q)).
10. Примеры алгебр: V. Расширенная моноидпа н
алгебра
Моноидную алгебру моноида S относительно кольца А (коммутативного и имеющего единицу) можно также рассматривать как подмодуль произведения образованный теми семействами (as)s?s, в которых as = 0 для всех кроме конечного числа индексов, С произведением, определенным соотношением (as) (Ps) = (Ys), где для каждого s?S
УS= 2 «(Pu (15)
І U=S
(сумма распространяется на все пары (t, и), для которых tu=s). Сумма в правой части формулы (15) имеет смысл, поскольку лишь конечное число as и Ps, а значит и произведений a(Pu, отлично от нуля. Ho правая часть формулы (15) имеет смысл и для любых семейств (as) и (Ps), если моноид S удовлетворяет следующему условию:
(D) Для каждого Sg 5 существует лишь конечное число пар (t, и) элементов из S таких, что tu = s.
Итак, предположим, что S удовлетворяет условию (D); определим на произведении /Is внутренний закон композиции ((as), (Ps))("Vs), где Ys задается для каждого sg S формулой (15). Ясно, что определенное так на умножение двояко дистрибутивно относительно сложения и удовлетворяет тождествам (5); наконец, вследствие тождеств
2 «AY* = 2 (( 2 ««PJyJ= 2 («и( 2 Рл«;))
UVW=I J VJ= t Ur=I U?=t VW=S
оно ассоциативно.
298
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § '
Таким образом, это умножение и два закона композиции имею-
S S
щейся в А структуры Л-модуля определяют в А структуру
о
алгебры относительно кольца А; множество А , наделенное этой структурой, мы называем расширенной моноидной алгеброй моноида S относительно кольца А.
Очевидно, моноидная алгебра моноида S относительно А (называемая также, при желании избежать всякой опасности путаницы, узкой моноидной алгеброй моноида S) есть подалгебра расширенной моноидной алгебры этого моноида (совпадающая с этой последней, когда S конечно). Допуская вольность речи, мы также всякий элемент (as)S?g расширенной моноидной алгебры
моноида 5 относительно А обозначаем тем же символом 2 a4s,
sTs
что и элементы его узкой монондной алгебры; разумеется, фигурирующий здесь знак суммы не выражает никакой алгебраической операции, поскольку им охватывается бесконечное множество членов ^=0. При этом обозначении умножение в расширенной моноидной алгебре моноида S по-прежнему записывается в виде
(2 <v) (2 Pss) = 2 (( 2 “(Pa)s)-
s?S s?S «?S ^u=S
Все сформулированные в п° 9 свойства узких моноидных алгебр без изменений распространяются на расширенные моноидные алгебры, за исключением продолжения представления моноида S в алгебру E на его узкую моноидную алгебру, ибо такое продолжение на расширенную моноидную алгебру, вообще говоря, ¦невозможно.
11 .-I моноидов, удовлетворяющих условию (D), укажем, в частности, множество N натуральных чисел, наделенное структурой, определяемой сложением, и множество N* целых чисел >0, наделенное структурой, определяемой умножением. В главе IV мы детально изучим узкую моноидную алгебру (кольцо полиномов от одной неизвестной) и расширенную моноидную алгебру (кольцо формальных рядов от одной неизвестной) аддитивного моноида N (относительно любого кольца); расширенная моноидная алгебра мультипликативного модуля N* (кольцо формальных рядов Дирихле) играет важную роль в теории Чисел.
Упражнения. 1) а) Пусть E — алгебра конечного ранга над полем К\ показать, что если а ? E не является ни левым, ни пра-
АЛГЕБРЫ
вым делителем нуля, то К обладает единичным элементом и а обратимо. [Cm. гл. I, § 2, предложение 4.]
б) Вывести отсюда, что если в E не существует делителей нуля, TO-E — тело.
