Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
Произвольное уравнение вида (2), где числа А, В, С одновременно не равны нулю, можно привести к нормальному виду, умножив его на число
М = ±1/\/А2 +В2 +С2 ,
где знак берется противоположным знаку числа ?>. Тогда число р = —МИ будет неотрицательным, а уравнение (2) преобразуется в следующее, ему эквивалентное,
МАх + МВу + МСг = р (р > 0). (3)
Здесь
(МАУ + (МВ)2 + {МСУ = 1.
Это показывает, что вектор
v = {МА, МВ, МС)
единичный (|у| = 1). Его проекции на оси координат равны
МА = сое а, МВ = соб р, МС = сое у,
где а, р, у - углы, образованные вектором v соответственно с положительными направлениями осей х, у, г. В силу введенных обозначений уравнение (3) имеет вид
82
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
xcos се + ycos ? + zcos у = р (р > 0), (3')
т. е. мы получили уравнение плоскости (2) в нормальном виде.
Если задано уравнение плоскости в общем виде (2) и надо узнать ее расположение относительно системы координат, то достаточно уравнение (2) привести к нормальному виду, умножив его на нормирующий множитель М.
Из самого же уравнения (2) без каких-либо вычислений можно заключить только следующие два факта: 1) если D = 0, то плоскость проходит через начало координат, а если D ф 0, то она не проходит через начало координат; 2) вектор N = (А, В, С) перпендикулярен плоскости, ведь он коллинеарен единичному вектору v = = (МА, MB, MC) = MN, перпендикулярному к данной плоскости.
Уравнение
Ах + Ву + D = 0 (4)
есть частный случай уравнения (2). В плоскости (х, у) уравнение (4) определяет прямую, а в пространстве (д;, у, г) оно есть уравнение плоскости П, перпендикулярной к координатной плоскости (х, у) и проходящей через эту прямую. Какова бы ни была точка (д;, у, г), принадлежащая к плоскости П, ее координаты х, у удовлетворяют уравнению (4) независимо от того, какую она имеет третью координату z. Уравнение
Ах + D = 0 (А ф 0) (5)
есть частный случай уравнения (4). Его можно записать еще в виде
х = С (С = -D/A). (5')
Уравнение (5') в пространстве (д;, у, г) есть геометрическое место точек (д:, у, г), имеющих первую координату, равную числу С. Координаты же у, г могут быть любы-
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
83
ми. Ясно, что (5') определяет плоскость, параллельную координатной плоскости (у, г) (или перпендикулярную оси д;).
9.3. Уравнение плоскости в отрезках. Если числа А, В, С, Х> не равны нулю, то уравнение (2) можно записать так:
а Ъ с
(6)
Рис. 21
где а = -В/А, Ъ = -О/В, с = -Б/С.
Уравнение (6) называется уравнением плоскости в отрезках. Эта плоскость (рис. 21) пересекает ось х в точке (а, 0, 0), ось у — в точке (0, Ъ, 0), ось г — в точке (0, 0, с). По уравнению (6) легко
представить себе расположение плоскости относительно системы координат.
9.4. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Если точка (х°, у0, 2°) лежит на плоскости (2), то ее координаты удовлетворяют уравнению (2):
Ах° + Ву° + Сг° + /.) = 0. (7)
Вычитая (7) из (2), получим
А(х - х°) + В(у - у°)+ С(г - г°) = 0. (8)
Уравнение (8) называется уравнением плоскости, проходящей через точку (хР, у", 2°). В векторной форме уравнение (8) имеет вид
^(р - р°) - 0, (8')
где N, р, р° — векторы, определяемые равенствами N - (А, В, С), р - (*, у, г), р° = (*°, у0, 2°).
84
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Здесь N — вектор, перпендикулярный к плоскости (2), р — радиус-вектор текущей ее точки, р° - радиус-вектор заданной ее точки. Так как вектор р — р°, приложенный к точке (х°, у0, 2°), принадлежит плоскости (2), то равенство (8) говорит о том, что вектор ЛГ ортогонален плоскости (2), что мы установили ранее из других соображений.
9.5. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Даны три точки
не лежащие на одной прямой. Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Из геометрии известно, что такая плоскость существует и единственная. Так как она проходит через точку (хх, ух, гх), то ее уравнение имеет вид
А{х - х,) + В(у - У1) + С(г - 21) = 0, (9)
где А, В, С одновременно не равны нулю. Так как она проходит еще через точки (х2, у2, 22), (ха, у3, 23), то должны выполняться условия
А{х2 - х{) + В(у2 - ух) + С(г2 - = 0,1
А{х3 - Х1) + В(у3 - У1) + С(г3 - 21) = 0.} (10)
Составим однородную линейную систему уравнений относительно неизвестных и, v, iv:
(х-х^и +{у-у{)ь +(г- гг)и> = 0,
(х2 - ху)и + (у2 - уу)и + (г2 - гх)и> = 0, ^
(х3 - хг)и + 0/3 - 1/х)и + (г3 - гуУ» = 0,
Здесь (х, у, г) есть произвольная точка, удовлетворяющая уравнению плоскости (9). В силу (9) и (10) системе (11) удовлетворяет нетривиальный вектор N = (А, В, С), поэтому определитель этой системы равен нулю
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
85
х - хг У -Уі z — z\
х2 -хі У2- Уі z2 - 2г
*3-*і Уз~Уі 2з~гі
= 0.
(12)
Мы получили уравнение вида (9), т. е. уравнение плоскости, в чем легко убедиться, разложив полученный определитель по элементам первой строки. При этом эта плоскость проходит через точки (ж,, ух, 2,), (х>, у2, 22), (х3, у3, 23), что вытекает из свойств определителя. Наша задача решена.
