Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения (4.2) после подстановки K3 = (B3-C3M3)/ Ib3 принимают вид классических уравнений Эйлера
В3 = —(ощи2, йі =U2B3, H2 = -UiB3, (4.3)
где со = xb3(g\ — g2). Вычислим период замкнутых траекторий системы (4.2)-(4.3). Интегралы системы (4.3) запишем в виїде
I = B23 + caul, J3 = U21 + U22. (4.4)
Пусть d2>du тогда ю = Kb3 (dl — dl) > 0. Выражая B3 и U2 в силу (4.4) через Ui и подставляя в (4.3), получаем
Ul = {(J3-u*)(l-mil)yi\ (4.5)
Решения уравнений (4.5) имеют вид [155]
wi=»(//cu),/2snr, т = (®/з)1/2(t- to), (4.6)
301 гіде sn т — эллиптическая функция Якоби, отвечающая параметру к2 = Z/(CdZ3). После подстановки (4.6) в (4.4) получаем:
B3 = I1'2 сп т, Ui = Jl12 dn т. (4.7)
Период эллиптических функций (4.6)-1(4.7) определяется формулой
Я/2
T = 4 (ш/3Г1/2 J (1 - к2 Sin2 a)-1'2 da. (4.8) о
Это и есть период замкнутых траекторий системы (4.2) — (4.3).
II. Найдем минимальное значение периода Т, реализующееся для моделей реальных пульсаров, т. е. при dl «??2 « dz « R и при постоянных Jz, Із, P- Функция T (4.8) достигает минимума Tm ощри к = 1 = 0, т. е. для малых колебаний, происходящих в окрестности ОІСИ U2 (Вз = = Ui=O); при этом Гт = 2яі(#>/з)_І/2. Такие колебания асимптотически имеют вид (Z<1):
M1 = Z1/2 sin (CO1V2 (f-g), B3 = (Zto)1/2 cos («ill2u02(t — Z0)), U2 = U02. (4.9)
После подстановки формул (4.1) и (4.3) в (4.7) при к < 1 получаем:
Гт = 2л(4яр//з)1/2Я№, d2, Iz),
К = (dl + d22 + I3Y1'2 (d\ - dl +13 (dl+dt) (d2 - dl)-1)1'2,
I3 = TrH1(I0^Il).
Функция К достигает минимального значения Km при
^2 — df = (I3 (d\ + dl) )1/2, Km =
= 21/2 (I3 (dl + dl))lU (dl + dl + I3]Г'2. (4.10)
Отсюда получаем минимальное значение периода
T0 = 4я3/2 (2рU3)1'2 (I3 (dl + d2)y>*(dl + dl + I3)-112.
(4.11)
Для реальных пульсаров имеем [152]: cZi « dz « dz » ~ R ~ І06 ом, плотность вещества жидкого ядра р ~ ~ IO14 г/см:3, плотность вещества оболочки pi ~ IO8 г/см3, толщина оболочки г ~ IO4 см, величина магнитного поля на поверхности пульсара |#| ~ IO'2 Гс (все численные значения определены только по порядку величины). Co-
302 гласно определению (1.3)' максимальное значение напряженности магнитного поля на поверхности эллипсоидальной полости дается формулой |Hl=i?|hl. В силу определения и = QJtQl имеем Z3 = Iul2= Ihl2, поэтому J\'2 = = I Il \/R. Тензор инерции оболочки при г -C имеет вид
Ifh = 4 яД^рД*.
Естественно предположить, что центр масс пульсара близок к центру эллипсоидальной полости, причем IrM < < R (2грі/Др)1/2, тогда | J0ih | = у | Ни ще 7 < 1 (см. (2.3)). Для компоненты I3 получаем формулу
I3 = тТ1 (/S + Il) = 10(1 + у) Rrp1/ р.
Подставляя найденные выражения в формулу (4.11), получаем:
T0 = 8л3/2(5(1 + у) /4) mPmRII-1 (rpJRp)1/4. (4.12)
При этом в силу (4.10) имеем d2 = d\ (1 +5(1 + у) грі/ /Rp)1/2. После подстановки указанных выше численных значений находим d2 = d\ (1 + (5 (1 + 4)) 1/2і10-4), То = Ъ с. Полученное значение То аппроксимирует период T = = 3,75 с пульсара PSR 0527. Учитывая неточность определения численных значений всех величин в формуле (4.12), полученную оценку минимального периода вращения пульсара То (4.12) можно считать достаточно хорошо согласующейся с астрофизическими данными. Например, положив H= 5 • IO12 Гс (что весьма правдоподобно) , полуїчим Tо ~ 1 с, а такое значение периода характерно для многих пульсаров, например, PSR 0628 (Т — = 1,24 с) PSR 1133 (У = 1,19 с) и др. [152].
III. Траектории системы (4.3), удовлетворяющие условию
{d\ + dl)'1 J0 >J3> (dt + ^T1Z0, ^o = (2/1 — (a3 — C3/&3)/2) и-1,
движутся вокруг оіси U2(B3 = Ui = O), как и траектории. (4.8). Для таких траекторий за период одного колебания матрица Q2 не изменяется, так как Q2 = -BQ2 и
(^3Bdt = 0; при этом матрица Q1 (t + Т) Q11 (t) определяет поворот вокруг оси х3 на угол Д<р = TM3Ih. Условие Дф = 2яp/q (р и q — целые числа) определяет значения момента импульса IMl = miIM3I = InpmiI3/qT, обеспечи-
303 вающие строгую периодичность вращения пульсара (с пе~ риодом цТ).
При Jmin [gi) < JrI < J3K max (g<) и J2 < 1 на поверхности уровня Ji = Zei существуют 8 замкнутых траекторий, вдоль которых величины K3, B3, A3 = а3М3 + C3K3 меняют знак. Таким траекториям отвечает немонотонное вращение пульсара вокруг оси х3, при котором угловая скорость оболочки и внутреннего вращения жидкости периодически меняют знак (частным случаем являются колебания (4.9) при IM31 < (Ы)1/2с3 (а3Ъ3 — Этот вид движе-
ния реализуется только при наличии внутреннего магнитного поля и di Ф d2.
Машиторотациотшые колебания несжимаемой жидкости в цилиндрически-симметричном случае (объект бесконечен по оси х3) изучались в работе [156]. Существование некоторых периодических траекторий системы (2.1,2) можно установить, используя работу [117], так как при J2 = 0 система (2.12) переходит в уравнения Кирхгофа.
IV. Важное значение имеют также решения, которые на многообразии M^ уровня интегралов J2 = к2, J3 = к3, Ji = к і обладают минимальной полной энергией Ji. Такие решения в силу положительной определенности энергии Ji существуют на каждом многообразии уровня интегралов J2, J3, Ji и соответствуют некоторым стационарным точкам системы (2.12). В стационарных точках систеїмьі (2.12) выполнены следующие условия:
