Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Магнитогидродинамическая модель вращения пульсара
В рассматриваемой модели пульсара предполагается:
1. Оболочка пульсара является абсолютно твердой и обладает бесконечной проводимостью. Жидкое ярро с постоянной плотностью р заполняет эллипсоидальную полость с полуосями di, d2, d3. Выделена система отсчета S, жестко связанная с оболочкой, начало которой находится в центре масс пульсара, а оси параллельны главным осям эллипсоида. В системе S центр эллипсоида О имеет координаты г1, г2, г3.
2. Вращение оболочки пульсара определяется ортогональной матрицей Qi (t). Движение жидкости в полости описывается уравнениями магнитной гидродинамики [153]:
р dv/dt = —grad р + (rot H X Н) /4я — р grad Ф, div v = 0, дії/dt = rot(v X H), divH = 0, (1Л)
292 где V — вектор скорости, р — давление, H — вектор напряженности магнитного поля, Ф — ньютоновский гравитационный потенциал внутри жидкости. Движение жидкости является движением с однородной деформацией [154, 158], причем преобразование из лагранжевых координат а" в эйлеровы координаты Xі имеет вид
S1 = І (FUk + (Q1)IrkI F = Q1DQ2. (1.2)
Ji=i
Здесь Qi(t) — ортогональная матрица, Dij = di6ij; лагран-жевы координаты а" пробегают единичный шар (а1)2 + + (а2)2+і(а3)2< 1.
3. Напряженность магнитного поля Hi в точке (1.2) имеет вид
Hi = І Fihfa', (1.3)
ft J=і
где J Aj II— постоянная кососимметрическая матрица.
4. Электромагнитное поле имеет разрыв на границе раздела Фі — жидкость-оболочка, с обеих сторон которой магнитное поле касается поверхности эллипсоида и вморожено в среду.
Покажем, что на границе эллипсоидальной полости (поверхность разрыва) выполнены все необхолимые граничные условия. Пусть Hn, Hx, En, Ex, vn, vx — нормальные и касательные составляющие магнитного поля, электрического поля и скорости жидкости на поверхности эллипсоида. Условия на разрыве в магнитной гидродинамике имеют вид [153] (теплопроводностью пренебрегаем)
Ш=0, {?,} = 4лЭ, UTbJ = O, {Нх} = 4яс-1 (ї X п),
(1.4)
{pyj = 0, {sn — (Р • v)n + ру„'(є + v2/2)} = 0, (1.5) {pvny-P п-Гп} = 0, (1.6)
S = C(EXH) /4я, Pij - —poij, Tij =^(HiHj - H26,j/2) /4я.
Здесь (Z) = Xy — X- — скачок величины X на поверхности разрыва, 0 — поверхностный заряд, і — поверхностный ток, п — вектор нормали к поверхности разрыва, s — вектор плотности потока электромагнитной анергии, P и T — матрицы с компонентами Pij, Tij; є — плотность внутренней энергии жидкости.
293 В силу (1.2), (1.3) имеем vn = 0, Hn = 0. В приближении магнитной гидродинамики E = — (vXH)/c, поэтому Ex = 0. Внутри оболочки v = 0, поэтому здесь электрическое поле E = O. Следовательно, условия (1.4) выполнены и определяют поверхностный ток и поверхностный заряд, цри этом со стороны оболочки Hn = 0, Ex = = 0, En = 0. Условия (1.5) выполнены в силу vn = 0, sn = 0.
Условия (1.6) в силу Vn = 0, Hn = 0 приводят к условию {р + Н2/8я,} = 0. Это условие определяет давление со стороны оболочки и поэтому в случае абсолютно твердой оболочки также выполнено.
5. Электромагнитное поле имеет разрыв на внешней границе раздела Ф2 — оболочка-вакуум. Электромагнитное поле в окружающем вакууме может быть, например, полем магнитного диполя. Предполагается, что это поле вращается вместе с пульсаром; излучение электромагнитных волн не учитывается. Условия (1.4), (1.6) определяют поверхностный ток и давление в оболочке на правице Фг (поверхностный заряд 8 = 0, так как в силу бесконечной проводимости оболочки имееій E = O и, следовательно, {Ег} = 4я0 = 0). Граничные значения магнитного поля, определенные на двух поверхностях Фі и Ф2, сшиваются некоторым магнитным полем Но внутри оболочки. Уравнения Максвелла внутри оболочки сводятся к условию вмороженности поля Но и к определению объемного тока j = с (4л;)rot Но, при этом (никаких дополнительных ограничений не возникает.
Динамика модели пульсара рассматривается в течение промежутка времени, когда влиянием вязкости жидкости и потерями энергии на электромагнитное излучение можно пренебречь.
і 2. Динамика твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной магнитной жидкостью
Уравнениями движения (относительно центра масіс) твердого тела с полостью, заполненной магнитной жидкостью, являются уравнения магнитной гидродинамики (1.1) и закон сохранения полного момента импульса. Введем обозначения:
Qi = QiA, Q2 = -BQ2 (2.1)
и воспользуемся изоморфизмом векторов с компонентами 294 у' в і?3 и ко с о с и м мет ри чески X (З X 3) матриц с компонент аіми Vjh:
V--^Vjh = -SviEiih, (2.2)
„г
ijfti
i=l
при котором векторное произведение векторов X X у переходит в коммутатор матриц [X, У] = XY — YX. После этого изоморфизма кососимметрическим матрицам А и В отвечают векторы с компонентами Ai, В1, і = 1, 2, 3.
Момент количества движения жидкости в полости (относительно центра масс) имеет вид (всюду интеграл берется по объему полости)
м\ = P j (х X Ў)* dx1 dx2 =
з
= 2 ZiikMjh+ (Q1)iI0jhAh),
M = Tn1 (FFt — FFt) = Tn1Q1 (D2A + AD2 - 2D BD) Qt1, Ijh = m ^Sjfc 2 (r')2 — m = 4npd1dad3/3, Wi1 = m/5,
