Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Динамические системы из двух указанных классов Th и?(В силу существования представления Лакса со спектральным параметром E являются интегрируемыми в тэта-функциях Римана соответствующих римаповых поверхностей det(L(?, E)-W-1) = 0.
§ 4. Представление нулевой кривизны для некоторых расширений обобщенных цепочек Тода и уравнения Синус Гордона
I. Рассмотрим в простой алгебре Ли @ уравнение нулевой кривизны [5, 11].
дії дА гТ ., „ ,,
It ~ді = [L' А]' <4Л>
где векторы L(t, х, Е), A (t, х, E)<s® определяются формулами
п
L(t, х, E) = p(t,x) + ? 2 bi(t, х)еа. +
i=0
п
+ T mV х) [e°>v S']' (4'2)
г,3=0
п
А (t, х, Е) = — Е~г 2 ®i (t> х) е-щ-i=0
202 Здесї» р (t, х)є ff (картановская подалгебра), а>о, ... ..., допустимый набор корней, <?ю. — корневые
векторы. Уравнения (4.1), (4.2) эквивалентны системе уравнений
п п
Pt = — 2 ham, (bi)t = S mij ю;) aj,
i=0 3=0
(fli)oc = (P, COi) CLi, (Tnij)t = 0. (4.3)
После подстановки аг = ехр(д, Coi), ji« = пг«(со,-, Coi) система уравнений (4.3) принимает вид (р = qx)
п п
qtx = — 2 hm exp (q, (Oi), (Ьі)і = 2 |iij exp (q, COj). (4.4)
i=0 3=0
Эти уравнения представляются также в виде d2q dV дЬг V4 dV
— ' at ~ Zd M^j
F = 2 Ьі (і, ж) exp (g, coi).
dtdx dq' dt -
j—0 J »=0
(4.5]
Ненулевые постоянные Jiij=-Hji соответствуют ребрам пополненного графа Дынкииа простой алгебры Ли ©. Система уравнений (4.4) является интегрируемым расширением двумеризованных обобщенных цепочек Тода, которые определяются условиями JJuj — 0; при этом bt = = const [62].
В случае алгебры Ли типа A2n+i из системы (4.4) при
coi = еі+1 — е{, а і = |іі,;+і получаем
(qt) tx = bi exp (qi+1 - qt) - bt-X exp (q{ - q{-{), (6i), = CCi exp (g,-+2 - gi+1) - і exp (- і).
II. B периодическом случае с периодом 2 (0,-+2 = &< at+i =Oti, qi+1 = g,) из системы (4.6) следует система уравнений
(gib* = bi exp (g2 -qi)-b2 exp (gi - g2), (g2) ix = b2 exp (qi - g2) - bx exp (g2 - qi), (4.7)
(&i)i = aexp(gi — g2), (b2)< = —aexp(g2 — gi),
где a = ai —a2. Из уравнений (4.7) находим
Ы* = -а-1(ВД<, (?i + gs)t- = 0. (4.8 У Отсюда следуют равепства
(g.), +a-!&!62 = P(X)1 qi + q2 = F(x)+G(t). (4.9)
204 В специальном случае q\ + q2 = 0, = q из (4.7) получаем
Qtx = Ъ\ ехр (~2q) — Ъ2 ехр (2q), (6i)f = aexp(2gr), (fa) ( = _a еХр (-2g).
Эти уравнения в переменных m = bi + fa, 112 = b\ — fa принимают вид
qtx — —ui (ехр (2^) — ехр(—2g) )/2 +
+ U2 (ехр (2q) + ехр (-2q)) /2,
(4.11)
(ill), = ao (ехр (2q) - ехр (-2q)), (іг2)(=ао(ехр(2дг)+ ехр(—2q)).
В случае вещественных функций q, щ, U2 обозначим ф = = 2q, т = 2t; тогда уравнения (4.11) принимают вид
фта = — иі sh ф + U2 ch ф, (ігі)т = ао8Ііф, (и2)і = аосЬф.
(4.12)
В случае чисто мнимых q, и2, ao и вещественном Ui обозначим 2q — іф, ui = Уі, и2 = —iv2, ao = —ia, x = 21; тогда Из (4.11) находим
фтх = vi sin ф + V2 cos ф, (i>i)t = авіпф, (v2)x = асозф.
(4.13)
Очевидно, уравнения (4.12), (4.13) являются расширениями уравнения Синус Гордон, которое получается из них при а = 0. Из уравнений (4.12) находим
cpx + (ul-ul)/2a0 = f(x). (4.14)
Из уравнений (4.13) следует
ф* — (^i + vl)/2a = g (х). (4.15)
Уравнения (4.12J, (4.14) после подстановки #i = rshi|), U2 = г ch -ф принимают вид
rx = ao ch (ф — ф), Ipt = а0зЬ(ф — фх = f(x) + ^/20?.
(4.16)
Уравнения (4.13), (4.15) с помощью подстановки ^i = = г cos ifi, V2 = г sin г|5 преобразуются к виду
г, -=Я8Іп(ф + ?), If1 = a cos (ф + Ир)г~\ <рх = g{x) + r2/2a.
(4.17)
204 III. G помощью растяжения координат qf, t, х введем в уравнение (4.6) параметр є:
(qi) ix = exp (qi+i - Qi)Is, - bi-i exp (qt - д,-і)/е)',
(4.18)
(bi)t = є-1 («і exp(gi+2 - qi+i)/e - a,-i exp (^i - q{-J/e).
Предположим, что aA = a — const, qk(t, x) — q(t, x, yh), bh(t, x) = b(t, x, yh), где у к = кг, q(t, x, у) и b(t, x, у) — гладкие функции. Уравнения (4.18) в пределе при s -*¦ О переходят в уравнения
g(x = (6exp qy)y, bt = 2а(exp qv)v. (4.19)
Продифференцировав первое уравнение по у и обозначив V — qv, ползаем систему
Vtx-(bexpv)yy, bt = 2а(exp v)y. (4.20J
Из последнего уравнения (4.20) находим Ь = иу, exp v = = м(/2а; после подстановки в первое уравнение (4.20) получаем
(In щ)ы = (UtUv)yv. (4.21)
Таким образом, уравнение (4.21) является континуальным пределом уравнений (4.18), допускающих представление нулевой кривизны.
§ 5. Континуальные пределы цепочки Тода и ее двумеризации. Опрокидывающиеся решения
I. Бесконечная (по индексу к) цепочка Тода
qh = exp (qh+i - qk) - exp (qk - qk-1) (5.1)
в опредленном континуальном пределе переходит в уравнение нелинейной струны [70]
ии = с? ((1 —bhux) Uxx + -UxxJj1
которое оказывается связанным с уравнением КдФ [70].
Укажем другой континуальный предел цепочки Тода. Введем в систему (5.1) путем растяжения функций qk и времени t параметр є:
,ft=l(exP^±V^-exPi^). (5.2)
205 Предположим,. что существует гладкая функция u(t, X) такая, что qk(t) = u(t, хк), где Xk = кг. После указанной подстановки система (5.2) в пределе при є О переходит в уравнение
