Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
440 \
ф 11.4. Метод прямых
п
и«(х, 0= Е «ДОМ*)-
(11.4.2)
чтобы на прямых х — х{ функция (11.4.2) удовлетворяла точно дифференциальному уравнению, т. е.
1 = 0 аг
1 — 0 ах
О </< п.
#?
Хо х< X?
Рис. 11.17
Предположим, что матрица
Ь = 11(х]), 0 </,./< л,
невырождена; тогда для функций осД/) получаем систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которую запишем в матричной форме:
</а
Л
= А а,
(11.4.3)
где вектор а=(а0, а1? ..., аи), а матрица А определяется формулами
А = Ь~1В, В^(Х]), 0
Потребуем, чтобы функция ип(х, г) при /=0 в узлах х] совпадала с ф0(^)? т. е. удовлетворяла начальному условию. Тогда получим
? <М°Н(Х;)=<М*Д
1 = 0
или с учетом существования обратной матрицы Ь~1
а(0) = Ь~1Ь, (11.4.4)
где вектор 6 = (ф0(*о), Фо(*1)>-> Фо (*?«))•
Итак, исходная задача сводится к решению задачи Коши для системы линейных уравнений (11.4.3), (11.4.4) с непрерывным временем /, которая получена дискретизацией только по пространственной переменной л;.
Если бы система уравнений для осД/) была решена аналитически, то функция ип(х, /), определенная формулой (11.4.2), давала бы л-е приближение к решению исходной задачи. Практически система дифференциальных уравнений по времени / (из-за большой размерности л, а для нелинейных задач из-за нелинейности) должна решаться численно. Поэтому все-таки придется вводить дискретизацию по следовательно, термин «полудискретные методы» не совсем точен. Сама идея сведения уравнений с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений весьма полезна. Это объясняется тем, что к полученной системе можно применять разнообразные эффективные процедуры решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, можно использовать методы с автоматическим выбором шага по точности, которые для обыкновенных дифференциальных уравнений разработаны гораздо глубже, а соответствующие программы входят
441
в стандартное математическое обеспечение ЭВМ. Последнее замечание может ввести в заблуждение (метод прямых лучше метода конечных разностей) при выборе численного алгоритма решения задач. Следует всегда помнить следующую мысль: нет ни одного метода решения, который был бы хорош для любой задачи; задача выбирает метод, а не метод—задачу.
11.4.2. Метод прямых с конечно-разностной аппроксимацией. Для дискретизации по пространственной переменной можно использовать конечно-разностные аппроксимации. Рассмотрим задачу (11.4.1). Разобьем интервал O^x^l узлами xt с шагом h (рис. 11.17). Вдоль прямых х—х{ точное решение задачи—это функция только от t:
По формуле численного дифференцирования для внутренних линий, 1, долучаєм
Подставляя эти выражения в исходную задачу и отбрасывая погрешность аппроксимации, получаем систему уравнений метода прямых
Система линейных дифференциальных уравнений (11.4.5) имеет трехдиагональную матрицу А правых частей
вектор v = (vl9 Vn-i). Найдем собственные значения матрицы
где матрица Т имеет своими столбцами собственные векторы матрицы А, соответствующие собственным значениям Элементы матрицы Т равны
(11.4.5)
Мг)=°> Мг)=°
с начальным условием
М0) = Фо(х(), 1<і<л-1.
(11.4.6)
М А.,= ~^2с08—Ь2^, 1</<л— 1. Отсюда следует, что —4<^<0. Аналитическое решение задачи (11.4.5), (11.4.6) имеет вид
(11.4.7)
442
Прямой подстановкой можно убедиться в справедливости формул для Хг и Гм.
Самым важным результатом представления решения в форме (11.4.7) является возможность провести анализ коэффициента жесткости S системы уравнений (11.4.5). Как следует из 10.3, коэффициент жесткости определяется в нашем случае формулой
/ V max|A,f|_ Xt cos(rc/w)-fl 1-f cos (тс/л)
^ minlA.il A.n_j n(n — 1) 1—cos (тс/л)*
cos — ----+1
n
При больших значениях n
2 4
S(n)~ 777- =—тП2.
У > (я/л) (1/2) я2
Таким образом, чем мельче шаг h (больше п), тем выше точность приближения метода прямых, но в то же время тем больше коэффициент жесткости системы обыкновенных дифференциальных уравнений метода прямых.
Рассмотренная модельная задача теплопроводности, имеющая точное аналитическое решение метода прямых с конечно-разностной аппроксимацией, содержит основные черты этого метода, которые проявляются в более сложных нелинейных задачах. Важным свойством в этом подходе является высокая жесткость системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а следовательно, необходимость решения этих систем при больших п специальными методами (см. 10.3). Более подробно с вопросами сходимости метода прямых и приложениями к другим классам уравнений можно познакомиться в [4, 20].
11.4.3. Применение программы В8А1. Для иллюстрации применения программы В8А1 рассмотрим задачу для одномерного нелинейного уравнения теплопроводности
ди д и 7 ? 7Хди (ди\
+sm ,+х
в области /) = {0<д:^1, 0</^1) с начальным условием
и (х, 0) = 0
и краевыми условиями
sin/w(0, f) + cosf^(0, t) = e~u\
(lH-1)и(l, ^)+e 1 — (l, /) = sin(/H~w).
Точность интегрирования на одном шаге по времени 10"4 (см. описание В8А1). Шаг выдачи на терминал по времени зададим At = 0,1 по х(—через десять точек. Число прямых дг; = const зададим равным 100. Полный контроль точности требует повторного
