Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
ад°Л,...,з*0))= / ? О’Г'-МЬ))2,
V i = k+ 1
каким-либо методом нелинейной минимизации по переменным Я°Л, /п0).
Метод стрельбы обычно устойчив, если на точном решении якобиан j?(x, у Ах), ..., У„(х))
имеет собственные значения (*) на нормированном интервале 0^д;<1 такие, что
|Xi(x)|^l.
Другой подход состоит в переходе к разностной схеме и решению полученной нелинейной системы уравнений одним из способов, изложенным в гл. 9.
На сетке Xi = a + ih, m = (b — a)h заменим дифференциаль-
ное уравнение конечно-разностным выражением. В векторной записи имеем во внутренних узлах
У}\
413
в краевых узлах
л).
Зл.-4,--1+,-_/(^ уш)
Полученная система нелинейных уравнений совместно с условиями
(10.4.26), если она разрешима, дает приближения ytJ,
к точному решению исходной краевой задачи в узлах yi(xj).
10.4.7. Применение программы В7А1. Рассмотрим краевую задачу для системы уравнений
dyx
| -? = ХУ1+ smJ^2 “ Sln*>
dyi ?
—=y1-xzy2+cosy3,
^=sin J2+(cos*) j3 + 1
на интервале с условиями
J'i(0)=J2(0)=0, j3(l) = l.
Пусть требуемая точность вычислений f. = 10 2. Программа может иметь следующий вид:
REAL U(3,2),V(3,2),A,B,E,X(32),Y(3,32),W(1712)
INTEGER N,M,N 1 ,L,J(247),K,I EXTERNAL F
DATA U( 1,1 ),U(2,1 ),U(3,1 )/0.,0.,0./
DATA U(1,2),U(2,2),U(3,2)/0.,0.,1./
DATA V(1,1),V(2,1),V(3,1)/0.,0.,1./
DATA V( 1,2),V(2,2),V(3,2)/11 „0./
DATA X/0.,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0/,A,B,E/0., 1 .,1 .E—2/
DATA N,M,N 1 ,L,K,I/3,32,6,1712,247,110/
С ОБРАЩЕНИЕ К ПРОГРАММЕ В7А1
CALL B7A1(U,V,N,A,B,E,F,M,X,Y,N 1 ,W,L,J,K,I)
С ВЫВОД НА ТЕРМИНАЛ УЗЛОВ X И ВЕКТОРА Y
WRITE (5,1) (X(I)(Y(J,I)J = 1,3)1 = 1,N1)
1 FORMAT (2X,'X=',F6.3,3E13.6)
END
С ВНЕШНЯЯ ПОДПРОГРАММА, ВЫЧИСЛЯЮЩАЯ
С F(X,Y)
SUBROUTINE F(X,Y,R)
REAL X,Y(3),R(3)
R(1)=X*Y(1) + SIN(Y (2)) - SIN(X)
R(2) = Y(l)—X*X*Y(2)+COS(Y (3))
R(3) = SIN(Y(2))+(COS(X))*Y(3) +1.
RETURN END
Глава 11
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ф 11.1. Введение
11.1.1. Ограниченность применения аналитических методов. В гл. 5
рассматривались аналитические методы решения уравнений с частными производными. В основе успеха применения этих методов лежала возможность приведения уравнения с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения также должны быть достаточно простыми, чтобы их решения можно было записать в известных функциях, т. е. таких, для которых имеются таблицы значений или программы вычисления значений.
Как правило, аналитические методы в линейных уравнениях связаны с разделением переменных (методом Фурье). Использование этого метода встречает большие трудности, если область независимых переменных, где ищется решение, отличается от простейших (прямоугольник, круг и т. п.). Вторым препятствием для применения метода Фурье является зависимость коэффициентов линейного уравнения от времени и пространственных переменных. Например, зависимость коэффициента а = а{1, х) в волновом уравнении с функцией а{г, х) достаточно общего вида
д2и 2/ \д2и
—г=а и, х)—=? дг2 ' ' дх2
уже не позволит разделить переменные. ?
Аналитические методы решения нелинейных уравнений используют глубокие внутренние свойства дифференциальных уравнений, их применение требует высокой математической квалификации, а виды уравнений, доступных решению, весьма ограниченны. Поэтому без большого преувеличения можно сказать, что нелинейность в дифференциальном уравнении не позволит инженеру использовать аналитические методы в практической работе.
Итак, имеется три основных «источника неприятностей» для аналитических методов в уравнениях с частными производными:
1) сложная область в линейных уравнениях с постоянными коэффициентами;
2) переменные коэффициенты в линейных уравнениях;
3) нелинейность.
Примером трудностей первого типа является уравнение Лапласа
415
в области D (рис. 11.1) с каким-либо условием на границе D.
Рис. 11.1
Пример второго типа—уравнение поперечных колебаний мембраны
где Г—коэффициент натяжения, р(х, j)—плотность мембраны. Неоднородность мембраны p(x, у) Ф const и есть источник трудностей в аналитических методах.
Примером трудностей третьего типа служит уравнение теплопроводности в; случае, когда коэффициент теплопроводности зависит от температуры:
Отмеченные ограничения применения аналитических методов привели, особенно с развитием вычислительной техники, к широкому распространению численных методов решения уравнений с частными производными. Опыт решения многих сложных задач науки и техники численными методами подтверждает их эффективность.
11.1.2. Дискретизация. Первым этапом в численном* решении дифференциальных уравнений, как обыкновенных (см. гл. 10), так и с частными производными, является переход от непрерывной задачи к дискретной.
Способ дискретизации задачи—это «визитная карточка» численного метода. Получаемые после дискретизации конечномерные задачи могут быть похожи для разных методов и решаться практически одинаково. Рассмотрим три метода дискретизации, которые связаны с наиболее популярными методами решения уравнений с частными производными, а именно: вариационные методы; методы прямых; конечно-разностные методы.
