Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 10.5. Пусть функции ц{х\ г(д;) дважды непрерывно
дифференцируемы на [я, Ь]; пусть также #(д;)<0. Тогда краевая задача г(х)еС4
Перейдем от непрерывной задачи к дискретной, заменив производную в уравнении и производные в краевых условиях по формулам численного дифференцирования на сетке:
х( = а+Иг, Н = -—-.
т
Для внутренних узлов хь 1, имеем
для краевых узлов аппроксимируем первые производные с точностью до 0 {к2) (см. (10.1.5)), из (10.4.6) получаем
-2(х2) + 42(х1)—Зг(х0)
(10.4.5), [а, Ъ].
(10.4.7) имеет единственное решение г(х) и
2А
- + 0 (Л2) —а2,
м*.)+р/ф-МгУ+ф--г)+о(*г)-рг.
Если отбросить слагаемые порядка О (И2), то получим разностные уравнения (разностную схему)
*,+1~%‘+г<~‘+?,г, = г„ (Ю.4.9)
403
20
•-
Х„
г,
а°2()+2^(~22+421~32°) = а2>
''1 "г Рис. 10.10
,+-(Згт * 2Л' т
-42т_1+2т_2)
(10.4.10)
—систему (т+1)-го уравнения с т+1 неизвестным 20, ги ..., 2т. Здесь
?(*|) = 9(> ,‘Ы = гц
Заметим, что на функциях г[х)еС [а, Ь\ разностная схема
(10.4.9), (10.4.10) аппроксимирует непрерывную краевую задачу с точностью О [к2) (отброшенные слагаемые).
Если решить разностные уравнения — определить гь 0</<га, то полученн^ значения при выполнении условий устойчивости являются приближениями с точностью О (И2) к значениям 2(.Х1) решения краевой задачи.
Например, пусть требуется решить краевую задачу
(Рг
<1х2
-2-7 = 0, 7о = 0, 7 (1)= 1.
Выберем шаг сетки Л =1/3 (рис. 10.10). Разностная схема запишется следующим образом:
*о = 0,
*2 2*1 +20
(1/3)2
г3-2г2 + г1
(1/3)2
-*1=0; -*2 = 0,
*з = 1.
Эта система уравнений легко решается. Находим: го = 0, гх= 0,2893, г2 = 0,6107, гъ=\. Сравнение с точным решением в узлах сетки 2(д;о) = 0, 2(д:1) = 0,2889, 2(лг2) = 0,6102, 2(лг3) = 1 указывает на хорошее приближение решения разностной схемы.
Преобразуем уравнения (10.4.10) так, чтобы исключить 22 из первого уравнения и 2т_2— из второго (при этом естественно считать, что а^О, Р^О). Для исключения 22 выразим 22 через 2Х, 20 из (10.4.9). Имеем
22 = 7*1 Н2 — Я\к2"Ь22х — 20.
Подставляя правую часть равенства в (10.4.10), найдем
c^0z0+^(-r1h2 + q^h2z1-2zl+z0+4z^-Зz0) = <x2, откуда получаем
70=?171+?»1, (10.4.11)
где константы Еи соответственно равны
2«!+а 1^1/г2 1а2к-\-а1г1к2
2а! — 2а0Л
2а! —2а0/г
404
Для малых значений Н знаменатель не равен нулю, так как ос^О. Аналогично из (10.4.9) находим
2т-2 = ''т-1Л2-?т-1Л22т_1+22т_1-гт.
Подставляя правую часть этого неравенства в (10.4.10), получаем
РоV+^ —Агт _1 + гт _ 1 А2 - дт _ 1 А2 гт _ 2 + Ът _ 1 - гт) = р2.
Отсюда
2т~ б^т- 1
где константы 2, 5 соответственно равны
?_2$1 + §1дт-1к2 5=2Р2-Р1гт_1Л2
(10.4.12)
2Рі 2ро/і
2Рі 2ро/і
Для малых значений Н знаменатель не равен нулю, так как Р^О.
Окончательно разностная схема краевой задачи представляет собой систему линейных алгебраических уравнений (10.4.11), (10.4.9),
(10.4.12) относительно г = (г0, г19 ..., гт). Запишем ее в развернутой форме:
1
_1_
Vі
о
(-
-Е,
1
Р2'
о
1
и2
(~Г‘+Ф
в
1
р.
И2
1
+ Ят~1 І Т2
-е
Г ?> Г Л
*0
2} ''і
' • * = Г'і
2т- 1 Гт- 1
2т 5
(10.4.13)
в матричной форме:
Аг = Ь,
405
где А—матрица системы (10.4.13), Ь — вектор правых частей Ъ = (1>1, г19 г2, ..., гт_19 Б). Матрица А имеет ненулевые элементы, расположенные на трех диагоналях, т. е. это трехдиагональная матрица.
Рассмотренные методы решения линейных систем в гл. 9, ориентированные на матрицы общего вида, оказываются крайне неэффективными, если использовать их для решения систем с трехдиагональными матрицами. Например, метод исключения Гаусса, требующий для своей реализации 0(т3)9 т-+ оо, арифметических операций, фактически будет обрабатывать основное время нулевые элементы, так как ненулевых элементов в матрице А всего 0(т).
Для решения систем линейных уравнений с трехдиагональными матрицами используется вариант исключения Гаусса, в котором принимают участие только ненулевые элементы А, так называемый метод прогонки. Число арифметических операций, необходимое для его реализации, оказывается равным 0(т). Следует отметить, что метод прогонки в системах линейных алгебраических уравнений—этр дискретный вариант непрерывного метода прогонки, изложенного в п. 5.3.18.
10.4.2. Метод прогонки. Рассмотрим трехдиагональную систему уравнений более общего, чем (10.4.13), вида, а именно состоящую из (10.4.11), (10.4.12) и следующих уравнений:
_! - С{ ; + В111 + г = г,, 1 < / < т- 1. (10.4.14)
В (10.4.13) побочные диагонали являются константами, а здесь Аь Я, могут зависеть от /.
Для вывода формул прогонки представим зависимость от гг+1 по аналогии с (10.4.11) в виде
г1 = Е1 + 1г1+1+?>1+1, 0<1<И1—1, (10.4.15)
где Е19 Г>х—известные константы, а (Е2, Ет_1), (Г>2, ..., Г)т_х) —
пока неизвестные константы. Из (10.4.15) получаем соотношения
2,-1 = Я, г,+?>, = ?,(?,- +! +! + Д-+!)+Х)г =
= ?Д+1г(+1+?;1>1+1+/)(, (10.4.16)
Подставляя (10.4.15), (10.4.16) в (10.4.14), имеем
121+1 1 — €&+1^1+1—
-С^+1+Я;21 + 1-Г; = 0, 1</<т-1.
Приравнивая в этом соотношении отдельно коэффициенты при г1 + 1 и свободные члены нулю, получаем
