Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
6.2. С^топология и системы геодезических
Если (Ni, g) — произвольное лоренцево многообразие, то метрики в Lor (M), близкие KgB ^-топологии, имеют системы геодезических, которые близки к системе геодезических метрики g. Цель этого раздела состоит в том, чтобы дать аналитическую формулировку этого понятия, удобную для наших исследований (^-устойчивости изотропной геодезической неполноты пространств Робертсона—Уокера в разд. 6.3.
Начнем с того, что напомним оценку, хорошо известную из теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см. Бирхгоф и Рота (1969, с. 155)). Евклидову норму точки х = (хь ..., хт) G G Ikm будем обозначать через ||х||а: ||х||2 = [Ц?=і*?]І/2.
Предложение^.5. Пусть / = (Д, ..., fm) uh = (Zi1, ..., hm) —
непрерывные функции с общей областью определения D cz Rx Rm, причем / удовлетворяет условию Липшица:
Il / (s, х) — / (s, х) IIa С L II X - X ||2
для всех (s, х), (s, х) G D. Пусть х (s) = (X1 (s), ..., хт (s)) и у (s) = (y1 (s), ..., ут (s)) —решения дифференциальных уравнений
соответственно (здесь Ocscb). Тогда если || / (s, х) — h (s, х) ||2 < є для любых (s, х) ^D и 0 с s с Ь, то
II* (s) - У (S) Il2 С II X (0)-у (Q) ||2 е^ + (^ - 1) для всех s, подчиненных условию Oc s « 6.
Пусть M — гладкое многообразие, a (U, х) — произвольная координатная карта на М. Ассоциированную карту х = (X1, ... .¦.,хп, хп+1, ..., х2П) для ТМ\и можно получить следующим образом. Рассмотрим базисные векторные поля d/dxlt ..., д/дхп,
определяемые на U локальными координатами х = (X1.....х„).
Заданный вектор v G TqNl, где g ? U, можно записать в следующем виде: V = аі (д/дхі) | q. Тогда x (t/) определяется следующей формулой: X (t>) = (X1(V), ..., хп (v), alt ..., an). По- 6.2. С1-топология и системы геодезических
161
строенные координатные карты можно использовать для определения евклидовых расстояний на U и TM | и- Именно для данных р, q ? U и V, w ? TM I и положим
IlP ~ql = \t[Xi(p)~ X1 (<7)]41,2
U - і I
(2 и 1 1,2
И!2= S МО -И!2
соответственно. Если г ^O задано, мы будем пользоваться обозначением II g! — g21,., и < б, где gb g2 ? Lor (M) и б > 0 — положительная постоянная, если вычисленные в локальных координатах (U, х) соответствующие компоненты этих двух метрических тензоров и все их соответствующие частные производные до порядка г включительно б-близки к каждой точке из U.
Символы Кристоффеля второго рода для метрик g1; g2 ? G Lor (M) обозначим соответственно через T)k (gi) и Ytjk (g2). Тогда уравнения геодезических в координатной карте (U, х) для (М, ga), а = 1, 2, задаются следующим образом:
dxi _
~1Г —Xi+n
dx- і (6Л)
= I /А (Sa) Xj+nXh+n ,
где 1 с і, j, k с п (всюду в этой главе используется соглашение суммируемости Эйнштейна).
Экспоненциальное отображение в точке q ? (М, gа), а = 1, 2, будем обозначать через exp, [ga]. Если v ? TM \ и, то s ->• —>¦ ехр9 [ga] (su) представляет собой решение системы (6.1) в U с начальными условиями (q, v) для (М, ga). Чтобы применить к этим экспоненциальным отображениям предложение 6.5, отождествим TM I у с подмножеством R2'1, используя для этого координатную карту (TM I и, х). Определим / (s, X) — / (X) и h (s, X) = = h (X) посредством соотношений:
/,(X) = Ai (X) = xi+n,
fi+n (X) = — T)k (gj) xJ+nxh+n,
ht+n (X) = — Г/А (g2) xj+nxh+n,
где 1 C і, /, k < n и X — (хъ ..., Xzn) Є R2".
Лемма 6.6. Пусть (LJ, х) — локальная координатная карта для n-мерного многообразия М. Пусть далее (р, v) ? TM | и
6 Дж. Бим, П. Эрлих 162
Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера
и C1 (s) = ехрр[gj (so) лежит в U для всех Oese Ь. Тогда для любого заданного є > 0 найдется постоянная Ь > 0, такая, что из неравенств || v — да JJ2 < б и Ijg1 — g2 Iljt7 < б вытекает, что C2 = expi7 [g2] (sw) лежит в U для всех s, подчиненных условию Ocscb; более того,
I(Xj-T1) (S) - (Jfjor2) (s) j <f
и
I(Xj-OT1)' (S) -(Xj = C2)' (S) I <8
для всех jus, 1 е / Є Oeseb.
Доказательство. Пусть / (X) и h (X) такие, как указано выше. Тогда X (s) =-= (C1 (s), c'i (s)) и Y (s) ~ (c2 (s), с'г (s)) являются решениями дифференциальных уравнений dX/ds = / (X) и dY/ds = = h (F) соответственно. Выберем в TM | и открытое множество D0 так, чтобы оно содержало образ кривой X (s) и имело компактное замыкание D0. Тогда существует постоянная L, такая, что / удовлетворяет условию Липшица J) / (X) — / (X) ||2 е L || X —
— X U2 на D0.
Выражение И X (0) — Y (0) ||2 в оценке предложения 6.5 можно сделать столь малым, сколько требуется, выбирая достаточно малым II V — w JJa- Далее, так как символы Кристоффеля зависят только от коэффициентов метрического тензора и их первых частных производных, Л f (X) — h (X) J2 можно сделать на D0 сколь угодно малым, потребовав, чтобы достаточно мало было JJ gi —
— ёг Iii. и- Ввиду достаточной малости б > 0 можно применить предложение 6.5 для того, чтобы обеспечить справедливость включения с2 (s) Q U для всех 0 е s е Ъ, а также чтобы выполнялась оценка I X (s) — Y (s) ||2 < є для всех Oeseb. Следовательно, I X1 (s) — Y1 (s) I < є для всех 1 е і Є 2я, Oeseb. Требуемые неравенства легко следуют из формул (6.1). П
