Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 3.10. Пусть р, q ? М, причем р < q и р ф q. Кривая 7 ? Qp, q называется максимальной, если L (7) = d (р, q).
Непосредственным следствием обратного неравенства треуголь- ? ника является
Замечание 3.11. Если 7: [0, 1 ] M из Qj,,q максимальна, то для любых s, t, связанных условием О < s < / < 1, имеем d(Y (s), у (O) = L (7 I [s, t]).
Следующий результат, полученный несколько иначе Пенроу-зом (1972, предложение 7.2), является аналогом того принципа в римановой геометрии, что геодезические «локально» минимизируют длину (см. Бишоп и Криттенден (1967, с. 189, теорема 2)).
Предложение 3.12. Пусть U —выпуклая нормальная окрестность с базовой точкой р ? M. Обозначим через pq, где q ? J+ (р), единственную непространственноподобную геодезическую с: [О, 1] ->• U, для которой с (0) = р, с (1) = q. Если у — произвольная направленная в будущее непространственноподобная кривая в U, идущая из р в q, длина которой L (у) = d (р, q), то у совпадает с pq с "точностью до параметризации.
Доказательство. Для случая, когда q ? I+ (р) и d (р, q) > О, Пенроуз (1972, с. 53) показал, используя синхронную координатную систему, что если 7 — произвольный причинный путь в U из р в q, отличный от pq, то L (у) < L (pq) = d (р, q). Этот результат можно получить также, используя лемму Гаусса (см. следствие 9.19 разд. 9.1). Таким образом, для d (р, q) > 0 утверждение доказано. 90
Г л. 3. Лоренцево расстояние
Предположим теперь, что d (р, q) -- 0. Пусть у — произвольная непространственноподобная кривая в U из р в q. Тогда L (7) с =? d (р, q) = 0. Поэтому у: 10, 1 ] M — изотропная кривая. Предположим, что 7 (t) ф Int (pq). Обозначим через Y1 однозначно определяемую изотропную геодезическую в U, идущую из р в 7 (t), а через 72 однозначно определяемую изотропную геодезическую в U, идущую из 7 (t) в q. Согласно предложению 2.19 Пенроуза (1972, с. 15), либо 7х * у2 — гладкая изотропная геодезическая, либо р < q. Вследствие того что d (р, q) — 0, последнее невозможно. Отсюда вытекает, что Y1 * у.2 — гладкая изотропная геодезическая, которая в силу выпуклости U должна совпадать с pq с точностью до параметризации. ?
Доказанное предложение имеет важное следствие.
Теорема 3.13. Если у ? ^p,? и выполняется равенство L (7) = = d (р, q), то у можно перепараметризовать так, чтобы получилась гладкая геодезическая.
Доказательство. Зафиксируем на 7 произвольную точку 7 (t). Можно указать б > 0 так, чтобы выпуклая окрестность с базовой точкой 7 (t + б) содержала 7 (U — б, t + 61). Согласно замечанию 3.11, кривая 7 I U — б, t + б] максимальна. Поэтому предложение 3.12 обеспечивает возможность перепараметризации 7 I It — б, t + б] в гладкую геодезическую. Ввиду произвольности выбора t теорема доказана. ?
В качестве примера использования определения 3.10 и теоремы 3.13 приведем простое доказательство основного результата элементарной теории причинности (см. Пенроуз (1972, предложение 2.20)), который обычно получают другими методами.
Следствие 3.14. Если р < q, но не выполняется р q, то существует изотропная геодезическая, идущая из р в q.
Доказательство. Согласно предположениям причинности, сделанным относительно р и q, выполняется равенство d (р, q) = 0. Пусть 7 — направленная в будущее непространственноподобная кривая из р в q. По определению лоренцева расстояния d (р, q) ^ ^ L (у) 0. Поэтому L (7) = d (р, q) = 0 и 7 максимальна. По теореме 3.13 кривую 7 можно перепараметризовать в гладкую геодезическую с: [0, 1 ] --> M из р в q. Вследствие неравенства L (с) < d (р, q) = 0 эта геодезическая с должна быть изотропной. ?
В качестве второго примера использования элементарных свойств функции расстояния приведем доказательство существования гладкой замкнутой времениподобной геодезической на любом компактном пространстве-времени, имеющем регулярное 3.1. Основные понятия и определения 95
накрытие є компактной поверхностью Коши. Используя бесконечномерную теорию Морса (см. Клингенберг (1982)), можно показать, что любое компактное риманово многообразие допускает по крайней мере одну гладкую замкнутую геодезическую. Однако метод доказательства существенно опирается на положительную определенность метрики и потому неприменим к лоренцевым многообразиям. Тем не менее прямыми методами можно получить следующую теорему Типлера (см. Типлер (1979), где доказан более сильный результат).
Теорема 3.15. Пусть [М, g) — компактное пространство-время с регулярным накрывающим пространством, которое гло. бально гиперболично и имеет компактную поверхность Коши_ Тогда (М, g) содержит замкнутую времениподобную геодезическую_
Доказательство. Вследствие компактности M существует замкнутая направленная в будущее времениподобная кривая 7: [0, 1 ] -*¦ М. Пусть р = у (0) = у (1). Обозначим через я: M -->-
M заданное накрывающее многообразие, а через у: [0, 1 1 M поднятие 7, т. е. я о у (t) = у (t) для всех t ? [0, 1 I. Тогда у — направленная в будущее времениподобная замкнутая кривая в М. Положим рI = Y (0), р2 = Y (1). Из глобальной гиперболичности M вытекает, что P1 и р2 — различные точки, которые не могут лежать на общей для них поверхности Коши. В силу того что накрытие я: M -v M регулярно, должно существовать преобразование накрытия яр: M М, переводящее рг в р2 (см. Вольф (1982, с. 53—56, 78)). Выберем компактную поверхность Коши S1 накрытия М, содержащую рг, и положим S2 яр (S1). Вследствие того что (М, g) глобально гиперболично, функция расстояния d -- d (g): M X M R (J I00I принимает конечные значения и непрерывна. Поэтому посредством формулы / (s) — d (s, яр (s)) определяется непрерывная функция /: S1-^-R. Заметим, что А — sup {d (s, яр (s)): s ? Sff > 0 вследствие того, что / (/?,) > 0. Более того, в силу компактности S1 Л < оо и существует T1 ? S1, для которой d (гх, яр (г і)) = А. Пусть с: [0, 1 ] M — времени-подобный геодезический сегмент, такой, что с (0) = гъ с(1) = = яр (гх) и L (с) = d (гъ яр (rx)) = А. Эта геодезическая существует вследствие того, что (М, g) глобально гиперболично. Так как g = то с = я ° с: [0, 1 ] M — времениподобная геоде-
