Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Получим теперь формулу второй вариации для L" (0) (см. Бёлтс (1977, с. 86—89), Хокинг и Эллис (1977, с. 124)).
Предложение 11.26. Пусть с: [а, Ь ] -> (М, g) —нормальный времениподобный геодезический сегмент и a: [a, b] X (—є, є) ->- (М, g) —кусочно-гладкая вариация с, гладкая на каждом множестве (tj_x, tj) X (—є, є) для разбиения а = t0 Kt1 < ... < th= = b отрезка [а, Ь]. Обозначим через V (t) = а^ dlds \{tt0) векторное поле вариации а вдоль с и положим
L' (0) = g (V (а), с' (а)).
N(t) = V(t) + g(V(t), c'(t))c'(t) =
-= а* -
'* дч (t. о)
ds ' а* dt
а.
д
'* dt (t, 0) '
Тогда
L"(Q) = lbag(N" + R(V, с) с, N)\{U0)dt +
к
+ S g iN (*'). <4 iN')) - g ^dldsV, с') ?. 11,3. Фокальные точки
333
Доказательство. Полагая Li = L | [tt_u tt ] и вспоминая,
что
dLt
ds
J Н(
а* dt ' а* dt
-1/2
X
X [— (а*
«*1Г)1 dt,
получим
d-Lj ds2
J4{b(
д д
X
dt.
Дифференцируя выражение под знаком интеграла и используя
: а*
[І"' ^r]=0- пРиве'
тождество Vd/c^a* --
дем его к следующему виду:
-g (Vd dsVd/dta.d.ds> а, d<dt) - g ^dfdta, d'ds' Vd/dsa,d/dt) I-g (a,d/dt, '/.,><)
g (VOfdta, d'ds' a. d'dt) g (^dfdla, d<ds- a.d'dt)
+
(11.8)
t-g д/dt, а* <?/Л)]'/2 g (а* а, '
где (t, і') ? X (—є, є). Из того, что с — гладкая геодезическая, получаем, что VdfdtO-, d/dt \{i. 0> = Vdfdt с' (t) = 0. Поэтому
(t. 0) Л
Л
d os
_d_
dt
d dt
Є.0)
U.O)
o o \ d
(t. 0)
А так как g (Ar1 3/cty) |(fi0) = 0 для всех t ? (^j, /;), то
(Vd/c^N, a.
dt
_d_ dt
(t, 0)
= 0.
(q(N,a-(t.o) at \ * dt / / \(t, o)
— g {N, VdfdtUt -J-
Используя результаты проведенных вычислений, получаем, что g(VdfdtN, Vdldt [g(«.-Jr, =
= Ж (g (". І ' a- J") ) Lo g ( a. 1)
('.О,
= 0. 334
Ґл. 11. Сингулярности
Поэтому из соотношения
д
а.
вытекает, что
а* ds ' а* dt ) а* dt
(t. 0)
(ЛО)
(t. 0)
gtfd/dtN, Vo/a/.V) |(л
0)
24X'""'V' J-])
g (Vd/dfN, Vd/dtN) |(ло) г
Vd/df
d д \ д
* os * Л / *
dt
д д * ds * dt
(f.O)
г/а a 4а. 1Г'
g(Vd/dtN, Ъд/dtN) |(f.o)
f a*
ds
a.
U.O) д
dt J J
(f.o)
Заменяя g (Vdidta, dids, Vdidsat didt) |(/,с» в сумме (11.8) на полученное выражение и используя равенство g (? didt, aJdidt) },/.о) — —1, приходим к соотношению
_d
ds \
-g Ia
dt ' a* dt
д д
g (y<hdta.^-, a.
U. 0)
i(,0)
-= —g {jdidsVdidta, -gf, a. Это позволяет написать формулу
(0) = J 'І і ~ , a. J-)
Vd/dtN) [(/.о)! dt.
g(Vdi,itN, V?/dtN) |(ло)-
(t.u)
Вследствие того что д
a* Dt
а*
ds
CC
ГА JL
[ dt ' ds
имеем
R (a. Ж ' І") VdiotVo/os (a. - Vo,osVo,ot •
Так как. с (t) = a (t, 0) — геодезическая, то
(Va/e^o.-i-, а. 4")
(ЛО) Л
(Va/di«.
jL
OS
а
* dt
(t. 0) 11,3. Фокальные точки
335
(',0)
t.
Следовательно,
[*(*("•*-
—g (Vd/diN, Vo/dtN) і(ґ.о)] dt- g (Vd/d^a, — ,
Из равенства
—g(So.-dtN, Vd'dtN) |(f,o) = — -|-g0'v. VwfW)l(t,o) 1
-|-g(W, Ya/atVj,-J(JV) |(c, o)
определения V (t) — Ct^ o os|(c,o) и разложения L = J.> получаем
L*(0) = \balg(R(c'. V)V, c')\{t,0) + g(N, N") I(Ci0)]dt —
'.(VdidsV, с') P =
A
_L I
i —1
i=\
c'V, N-g(V, C) \t + g(N, N") I lЛ
h
Sg (N, Ah(N')) g(\.....r.
j ^o
пользуясь тем, что V = N — g (V,.c') с'. Таким образом,
L" (0) = j* g (N" R (V, с') с', N) |t di +
k
Yjg (N(U), &ttW'))-g(VdJdsV, с')Ц
j = о
где Vd/dsK |(с,о) ="= Vd/di«, d/ds |(с,0), как и требовалось. ?
Предложение 11.26 имеет приводимое ниже следствие.
Следствие 11.27. Пусть H — пространственноподобная гиперповерхность и с: fa, b\ (М, g) — нормальная времениподобная геодезическая, ортогональная H в точке р -- с (а) ? Я. Предположим, что a: fa, Ы х (—є, є) -»¦ (М, g) —вариация геодезической с, у которой a (a, s) ? Я ы a (b, s) —- q с (b) для всех s, —є < s < є. Если V = а^ d/ds |(Л0) и N --- У + g (V, с') с', то
L" (0) = J^g(N" + RiV, с') с', N) \t dt -f.
li—l
+ 2 g (N (tt), Atl (N')) + g (N, N') |p + g (Lc, (N), N) |p,
J=I JlO
Гл. 11. Сингулярности
где Lc' — оператор второй фундаментальной формы гиперповерхности H в точке р.
Доказательство. В силу предложения 11.26 и равенства
Ь g {N (ti), Ati Ю) = S1 g (N (til A,. (N')) ; g (N, N') \р
необходимо показать только, что
-glyo.vsV, c')\l = g(Lc.(N), N).
Заметим сначала, что условие a (b, s) =•= q означает, что o^d'ds |(<,..) -- 0 для всех s. Откуда в свою очередь получаем, что g (Voll)S V, с') 1(.,,0) -^= 0. Из того, что a (a, s) ? H для всех s, —? < s < є, вытекает, что а^ dids |(а,ч) касается Я для всех $ и, следовательно, N (а) = a^d/ds |(а.о)- Пусть у (s) -- a (a, s) для всех S1 —є < s < є. Продолжим вектор N (а) ? TpH до локального векторного поля X вдоль H так, что X о у (s) — аЛ dids |(a,S) для всех s, —є < s<e. Тогда
g(Lc{.t)(N), N) = g(VX(a)X, с (а))
по определению 2.35. Пусть теперь rj — поле единичных векторов, ортогональных H вблизи точки р, причем т) (р) ---- с' (а). Тогда
