Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
[?' (/)] = j^?' (t): % Q Rl (9.24)
есть его линейное подпространство, то можно определить линейное факторпространство
G(P(f)) = N(p(t))/ip'(t)] (9.25) 266 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
и факторрасслоение
G ф) = N (?)/[?'J = U G(?(Z)).
(9.26)
Элементами факторпространства G (? (Z)) являются смежные классы вида о + [?' (Z)], где и ? Л4P (0)> а линейное подпространство [?' (Z)] является нулевым элементом G (? (Z)) для каждого Z ? [а, Ь]. Элементы v + t?' (Z)] и w + t?' (Z)] равны в G (? (Z)) в том и только том случае, когда v = w + A?' (Z) для некоторого X G IR. Естественное отображение проектирования п: N (? (Z)) -v G ф (Z)) можно определить следующей формулой:
Отображение проектирования п на каждом слое индуцирует отображение проектирования л :N (?) ->¦ G (?), которое можно задать правилом: п (F) = F + [?' ], т.е. л (F) (Z) = F (Z) + + [?' (Z)I Є G(? (Z)) для каждого Z Є [а, Ь].
Этой конструкции факторрасслоения можно дать следующую (неединственную) геометрическую реализацию. Пусть п ? ? Тр(о)М — изотропный касательный вектор, для которого (,п, ?' (0)) = —1. Перенесем п параллельно вдоль ?. Получим изотропное векторное поле т], параллельное вдоль ? и удовлетворяющее условию (г) (Z), ?' (Z)) = —1 для всех Z G [а, Ь]. Выберем пространственноподобные касательные векторы ех.....пп_2 Є
? Tp (O)M так, чтобы (п, е}) = (?' (0), е3) = 0 для всех j = 1, ...
..., п — 2 и (et, ej) = бij для всех і, j = 1.....п — 2. Продолжим
эти векторы параллельным переносом до пространственноподоб-
ных векторных полей E1.....En^2 ? У1 (?), параллельных вдоль ?,
и положим
Тогда V (? (Z)) является линейным подпространством пространства N (? (Z)), состоящим из пространственноподобных касательных векторов, и мы имеем следующее разложение в прямую сумму:
справедливое для каждого Z ? [а, Ь]. Пусть V (?) =
= IW<* V (? (Z)) и K0 (P) = IF^y (P): F (a) = F (b) = OK
п.,,, й' /л ,, „ /л і/ /ач ,т«
Если P' (Z) и т] (Z) заданы, то V (P) не зависит от конкретного выбора Ie1.....е„_2} в Tp(O)M. Однако, если п ? ТР(о)М, а значит,
и т| изменены, может появиться разложение в прямую сумму, отличное от (9.29), вследствие того что заданная лоренцева метрика g, рассматриваемая только на N (Р (Z)), вырождается. Тем не менее V (Р (Z)) можно рассматривать в качестве геометрической реализации факторрасслоения G (?) при посредстве отображения
п (о) = о + IP' (Z)].
(9.27)
(9.28)
N (P' (Z)) = [P' (Z)] © K(P(Z))1
(9.29) 9.3. Теория Морса для изотропного индекса 267
г •__
Z -v Z + [?' ] из V (?) в G (?). Поскольку формула (9.29) является разложением в прямую сумму, легко вычисляется, что это отображение есть изоморфизм.
Обратный изоморфизм
0: G (? (0) - У (Р (0) (9.30)
для каждого t ? la, b] определяется следующим образом. Для заданного и ? G (? (t)) возьмем любой х ^ N (? (0) так, чтобы я (х) = и. Согласно формуле (9.29), разложение x = (t) + + U0, где U0 ? V (? (/)), единственно. Положим 0 (и) = и0. Если взять любой другой X1 ? N (? (^)), для которого Я (X1) = V, то, поступая, как и выше, имеем X1 = fx?' (t) + и0 с тем же самым uo 6 У (? (0) и некоторым fx ? IR. Поэтому 0 корректно определено.
В качестве первого шага к определению индексной формы / на факторрасслоении G (?) покажем, как лоренцева метрика, ко-вариантная производная и тензор кривизны многообразия (М, g) могут быть спроектированы на G (?). Сначала по произвольно заданным и, w ? G (? (^)) выберем х, у Є N (? (f)) так, чтобы я (х) = и, я (у) = w, и определим g по правилу
g (и, w) = g (х, у). (9.31)
Предположим далее, что мы выбрали X1, уг С N (? (^)), для которых я (X1) = и, я (г/і) = w. Тогда х = X1 + ^?' (t), у = у1 + + fx?' (t) для некоторых %, fx ? IR и поэтому g (х, у) = g (xlt yj + ^g (Уі, P' (0) ± M P' (0) + Аё (?' (0. ?' (0) = g (X1. Ух)-Следовательно, g корректно определена. Легко проверяется, что g (и, w) = g (0 (и), 0 (о>)) для всех и, w ? G (? (^)). Поэтому метрику g на G (? (^)) можно отождествить с заданной лоренцевой метрикой g на V (? (0). Из того, что форма g | V (? (^)) X V (? (t)) положительно определена для любого t ? la, b], вытекает, что индуцированная метрика g: G (? (^)) X G (? (t)) R обладает следующим важным свойством.
Замечание 9.48. Для каждого t ? [a, b] метрика g: G (? (^)) X X G (? (t)) -V IR положительно определена.
Теперь мы расширим оператор ковариантного дифференцирования, действующий на векторных полях вдоль ?, до оператора ковариантного дифференцирования для сечений G(?). Введем сначала следующее обозначение.
Определение 9.49. Пусть Ж (?) — множество кусочно-гладких сечений факторрасслоения G (?). Положим X0 (?) = = \ W Є Ж (?): W (a) = Ip' (а)] и W (b) = [?' (Ь)]}. 268 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
По заданному У Q Э? (?) выберем X Q У1 (?) из условия я (X) = У и положим
V (t) = V?' V (t) = я (Wx (t)). (9.32)
Если X1 Є (P) также удовлетворяет условию я (X1) = У, то X1 = X + /?' Для некоторой функции /: [а, Ь] R, и, поскольку ? — геодезическая, получаем Xi = X' + /'?'. Таким образом, я (XJ (0) = я (X' (0) для всех t Q [а, Ь]. Значит, ковариантная производная для X (?), задаваемая формулой (9.32), корректно определена. Можно убедиться в том, что это кова-риантное дифференцирование совместимо с метрикой g для G (?) и удовлетворяет обычным свойствам ковариантного дифференцирования.
