Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Многочлены Гейне и Ахиезера. Многочлены Гейне соответствуют отрезку [0, а] и весовой функции
V(X) = -T=J= * . 0 <a<b. (1)
у X (а — х) (Ь — х)
Они связаны с эллиптическими функциями Якоби.
Heine (1878—1881, том 1, стр. 294—296) показал, что многочлены степени п удовлетворяют дифференциальному уравнению вида
2 * (X) (х - у) -g- + ((X - у) V (X) - 2 ф (X)] -U -f
+ [а + рх-я(2л_1)х*]у=.0, (2)
где
Ъ(х)=х(а-~х)(Ь-х)
и а, р, у — некоторые постоянные. Это дифференциальное уравнение имеет четыре особые точки регулярного типа и, следовательно, относится к уравнениям типа Гейне
Ахиезер (1934) изучил ортогональные многочлены, связанные с отрезком (—1, 1) и весом
W(X):
_JCl
. ', ,,' =-, —1<х<я или Ь<х< 1,
V(l-X") (д-х) (6-х)
0, а<х <Ъ.
Здесь — I < д < ? < 1 и с зависит от а и Ь. Эти многочлены также связаны с эллиптическими функциями
Многочлены Полачека Недавно Полачек определил некоторые семейства ортогональных многочленов, которые являются обобщениями классических ортогональных многочленов Весовые функции, связанные с многочленами Полачека, не удовлетворяют некоторым условиям, которые обычно налаїаются в общей теории (Грубо говоря, они слишком быстро убывают в окрестности концов промежутка ) Таким образом, эти многочлены важны, как легко получающийся пример некоторых «нерегулярных» феноменов в общей теории ортогональных многочленов. тлй 10.21. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 217
Конечный отрезок. Пусть a, b, X—вещественные параметры, л>|6|, Я > — 1. Положим
— 1<*<«С08в<1, 0<е<я, (3)
н введем сокращенные обозначения
j^ a cos 84-Ь ^ ах-\-Ь "" sine = Vl^l?' (>
Многочлены Яд (х, а, Ь) определяются с помощью рекуррентных соотношений
P-I =0. Pfc-1. (5)
+ + + + (6) л- 1, 2, ...
Эти многочлены были введены в статьях PolIaczek (1949а) для Я =
и (1949с) для Re Я > 0 и изучены Szego (1950а). Некоторые связанные с ними многочлены также были изучены в работах. Poiiaczek (1949b, 1950а).
Умножая равенства (6) иа г" и суммируя, получаем простое дифференциальное уравнение первого порядка для производящей функции. Отсюда выводим что
y.Pl(x-,a,b)z» = (\-zel*)-h+lt{\-ze-i<f)-Mt, И<1. (7)
. Сравнение с 10.9(29) и 10.10(39) показывает следующие связи с многочленами Лежандра и Гегенбауэра:
Р\ (х; 0, 0) = C1a (je), Pin (дг, О, О) - Pn (х) (8)
Эти многочлены ортогональны на отрезке (4), весовая функция имеет вид
•<М (х-, а, Ь) = 1 г2*"1*«20-*»' (sin Є)21"11Г (X + it) |а. (9)
і
Cere изучил асимптотическое поведение многочленов Pj (лг, а, Ь), когда *—фиксированное число, лежащее между —1 и 1, и л->оо.
Используя производящую функцию (7) или рекуррентное соотношение (6), можно доказать что
п\р\ (JT1 fl, Ь) = (2Я)я еш F1 (— Л, Я + и. 2Я; 1 — е~219). (10)
Это выражение через гипергеочетрическне многочлены приводит к многим дальнейшим формулам для многочленов Полачека Следует отметить, что t зависит от х, а потому Pn ие удовлетворяет никакому дифференциальному уравнению. Формулы связывающие Pn с различными значениями Я, вытекают из (10), как следствия формул, связывающих смежные іипергеоме-трические ряды. 218 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11
В работе: Pellaczek (1950с) введена более общая система многочленов, зависящих от вещественных параметров а, Ь, с, X, где
либо а > І Ь І, 2Л + с > 0, с >0, 1
либо а > ІЬI, 21 + с > 1. с > — 1. J ( *
Многочлены Р\(хг,а, Ъ, с) удовлетворяют рекуррентным соотношениям
РЇі = о, Pj = 1, (12)
(n + c)/^_2[(n-l + X + fl + ?)x+ft]Pj:_1 + (/i + 2X+e-2)Pj;_j-0,
n— 1, 2, ... (13)
(Здесь использованы для краткости обозначения (3) н (4).)
Полачек вывел производящую функцию для этих многочленов и доказал, что они ортогональны на отрезке (4) относительно весовой функции вида
(jc; а, Ь, с) —
,О е»«а\2Х.—1 -(29-Я)< „
(14)
Рекуррентное соотношевне (13) является уравнением в конечных разностях для Р, рассматриваемого как функция от п. Это равенство позволяет выразить Р\ (х, а, Ь с) через гипергеометрическне функции. Это выражение слишком сложно, и входящие в него гипергеометрические ряды не являются многочленами Полагая
Вгі=Г (2 «In Є)1"» X
Xu^id —2Х —с —я, 1 — X + U; 2 — 2Х; I-*-"0),
получаем ныражеиие
(15)
Это выражение справедливо, если 2Х не является целым числом Существует другая форма записи, справедливая и при целых значениях 2А, Еслн с ¦¦ О, то A_i =0 В этом случае равенство (15) сводится к (10).
Бесконечный промежуток. Для бесконечного промежутка —со < х < оо Pollaczek (1950b) ввел систему многочленов Px (х\ <р), где
X > 0, 0 < ф < я (16)
являются параметрами и
P^i = O, /?= 1, (17)
nPj-2[(n-l+A)cosV-|-xslnVlPj_j+(7i-2 + 2X)Pj_2 = a (18)
и = 1, 2,... 10.32) 10.22 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ДИСКРЕТНОГО ПЕРЕМЕННОГО 219
Очевидно, что эти многочлены могут быть получены из многочленов, определенных формулой (6), путем замены 6 на ф и / на х. Производящая функция имеет вид
Jpi^rt^-O-^r^O-«-1»)"*"" 1*1 <1. (19)
а весовая функция
