Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
OO
(I) J^Vmf-'C'*f_x{2Vmx), (19) т гш о
V /
OO
, <*) - (-1)" 22m+1 (2иГгС>гЄ Vm х). (20)
т г» о
где
^0 (г) — г-1 Slnj-, (г) — г"2 cos г, (21)
1 (^) = (2л +1) Srr (г) - {г), г - 0, 1, 2..... (22)
и коэффициенты Cr также удовлетворяют некоторым рекуррентным соотношениям. Разложения (19) и (20) сходятся. Оии могут быть также использо-наны как асимптотические представления при /и ->оо. Для этой цели удобно положить А iIt.
10.16. Нули многочленов Якоби и связанных с ними многочленов
Определим многочлены Якоби для всех значений а, ?, * формулой 10.8 (12) я обозначим через N1 (о, ?) число нулей P^o) (je) на отрезке -[—1, 1]. Если а> — 1 и ?> — 1, то многочлены Якоби являются ортогональными многочленами с соответствующей весовой функцией 10.8 (1). Поэтому, в силу п. 10.3, все их нули являются простыми и лежат на отрезке [—1, 1). Для других вещественных значений а и ? число нулей, лежащих на отрезке [—1, 1], указано на рис. 6.
Мы видим из 10.8 (12), что при отрицательных целых значениях а функция Pjjz-(jr) имеет нуль порядка | о | в точке х ¦* 1, а при отрицательном целом ?—нуль порядка ]?| в точке Jf=-I. На луче (—оо,—1) лежат Ar1 (1—а—?—2я, ?) нулей, а на луче (1, оо) расположены Ni (1—ос—?—2в а) нулей. Все нули, не указанные в этом перечислении, встречаются и ниде комплексно сопряженных пар.
Многочлены Гегенбауэра были определены для всех значений А, х
формулой 10.9(18). Если — , то эти многочлены ортогональны, а потому нее их нули являются простыми и лежат иа отрезке [—1, 1]. Для остальных вещественных значений Я. число пулей может быть ныведеив и» результатов о многочленах Якоби с помощью формулы 10.9(4)» 10.161
10.16. НУЛИ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ
203
Расположение нулей ортогональных многочленов Якобн и их частных случаев на отрезке С—1, 1] было изучено многими авторами. Мы отсылаем читателя к книге Сеге (1962, гл. VI) и к более современным работам, в частности работам: Oatteschl1 Героннмус, Lowan, Davids и Levenson, Tricoml, перечисленным в бнблио- л
графин к этой главе.
Положим
ее—/1 os*-n+tа=-п*2се*-? се=-/J
і
а > — І, Р> —I,
Я > —
1
= cos О,
0< 0 < я, (1)
и расположим нули в порядке возрастания:
Pja-O(CosOm) = O,
O<0i<02< ... <е„<я, (2) /f.?>(*m)~ О,
— 1 <¦*„ <*„_!< <*1<1,
пЧ
п-2
п-3
¦J—
п-Г
о-г
-JS^-I
-fl-2 -?-3
~jS=-r>
¦¦ cos 0„
(3)
Рис. &
Для ультрасферических многочленов имеем
хт 4* ~ О,
(4)
и, следовательно, достаточно изучить положительные нули ^l < я < -5-j. Для многочленов Якобн
Xm = Xm (а, р, я) и для многочленов Гегенбауэра х„
' хт(Х, п) = хт^Х—g-, X—я).
Если т и я (а в случае многочленов Якоби также одни из параметров а, ?) фиксированы, то имеем следующие свойства монотонности:
хт(а, Р, я)ф — 1 прн а->оо, fl прн ? ->оо, т «= 1.....я, (5)
хт (X, п) фО прн X ->оо, т - 1, ..., ^J. (6)
Последнее из этих соотношений означает, например, что /и-й положительный нуль многочлена Гегенбауэра является строго убывающей функцией X
^при X > — j н стремится к нулю, когда А-»оо. Из (5) и (6) вытекают соответствующие утверждения для Qm. Так как формулы 10.11 (S) и 10.11 (6) позволяют найти значения 0m^± і, ± тр» «j, то имеем следующие неравенства:
(2т — 1)я<(2я-J-1)0т (а, р, я)<2/ия, — у<а, ?<y. 1<«<л. (7) (я —у)- J < 0.(X, п)<J^r, 0<Х<1, 1<ж< (8) 204 ГЛ. IS. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЬРЕМЕННЫХ 112.4
О дальнейших результатах см. Сеге (1962, гл. VI). Trlcoral (1947) заметил, что асимптотическое поведение нулей любой функции может быть выведено из асимптотического поведения самой функции, н применил этот принцип ко многим функциям, в частности, к ортогональным многочленам (см. Trlcomi1 1960; Qatteschl1 1949, 1949а). Оказалось, что асимптотическое распределение нулей около середины отрезка зависит от нулей тригонометрических функций (см. 1.14(5)), а нулн около конечных точек зависят от нулей функций Бесселя (см. замечание, следующее за формулой 10.14 (12)).
Асимптотические формулы для чисел Крнстоффеля могут быть выражены нз асимптотических формул для нулей с помощью формулы 10.7(7).
Относительно числовых значений нулей н чисел Крнстоффеля для многочленов Лежандра см. Lowan, Davids и Levenson (1942, 1943).
10.17. Нули многочленов Лагерра ¦ Эрмита
Многочлены, епределяемые для всех значений а н X формулой 10.12(7), имеют прн а > — 1 л положительных нулей, прн — л < а < — 1 [я-f-oj положительных нулей н не имеют положительных нулей, если а< — я; они
имеют нуль порядка k в точке х = 0, если а«= — к, к = 1, 2....... н имеют
одни отрицательный нуль, если (а-\- 1)„ < 0. Все нулн, не перечисленные в этом списке, распадаются на комплексно сопряженные пары. Многочлены Эрмита степени л имеют л вещественных нулей, которые расположены симметрично относительно начала координат.
Детальная информация о расположении нулей ортогональных многочленов Лагерра (то есть прн а > — 1) и многочленов Эрмнта имеется в книге СеГе (1962, гл. VI) и в работах: Greenwood н Miller (1948); W. Hahn (1934); SaIzer и Zucker (1949); Spencer (1937) н Tricomi.
