Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
|D, ad Xl ? L0.
Наконец, заметим, что если Ф — произвольный автоморфизм L1 то в силу (29) и (246) мы имеем
adф(X)(F) = [ф(X), П=ф([Х, .,-1FI) =CrIadXhr1(F)]),
т. е.
ad ф (X) = ф ad Хф-1. (33)
Относительно і'руип Ga (Ga) всех (внутренних) автоморфизмов L и их алгебр Ли мы отсылаем читателя также к гл. 3, § 3.
пример 4. Возвращаясь к трехмерной алгебре Ли примера 1, мы видим, что ad е, (ei) — 0, ad еЛ (е2) — е3, ad G1 (е3) = —е2 и т. п. Следовательно, Lu снова является трехмерной алгеброй Ли и может быть представлена в базисе {е.:} посредством матриц
-0 0 0 - 0 0 г гО .......1 о-
ad ev -= 0 0 — 1 ad et = 0 0 0 ade3 = 1 0 0
1 0_ — 1 0 0_ 0 0 0_
т. е. La является множеством трехмерных кососимметрических матриц, или о (3).
Аналогично присоединенная алгебра для gl (п, R) примера 2 задается соотношениями ad e-tj (ekl) = 6/Аег/ — Sii^7- (размерность n2), а для о (п) — множеством п (п — 1)/2-мерных косо-симметрических матриц.
Введем теперь важное понятие полупрямой суммы двух алгебр Ли. Пусть T и M — две алгебры Ли, и пусть D — гомоморфизм M в множество линейных операторов в векторном пространстве Т, таких, что каждый оператор D (X), X ? М, является дифференцированием алгебры Т. Снабдим прямую сумму векторных пространств T 4- M структурой алгебры Ли, используя заданные скобки Ли алгебр T и M в каждом подпространстве, а в качестве скобок Ли между двумя подпространствами полагая
IX, FJ = (D(X))(F) для X ЄМ, YQT. (34) .<24
Глава 1
Очевидно, что все аксиомы (1)—(3) алгебры Ли удовлетворяются; в частности, ввиду (34) для X ? М, Yi с T мы имеем
\Х, [Y1, Y2]] + [F2, [X, F1]]+ [F1, [F2, X]] =
= D (X) ([F1, F2])-[D (X) F1, Y2]-[Y11D (X)Y2],
что равно нулю, поскольку D(X) является дифференцированием. Полученная таким образом алгебра Ли называется полупрямой суммой T и М. Подалгебра T ввиду (34) является идеалом полупрямой суммы. Другими словами, алгебра Ли L есть полупрямая сумма подалгебр T и A-J, если L = T -\ M, и
[Т,Т]с:Т, IM, М] с= М, [A4, Г] с= Г. (35)
Для полупрямой суммы мы будем использовать символ T -Э М, записывая на первом месте идеал Т, а на втором подалгебру М.
ПРИМЕР 5. Алгебра Пуанкаре примера 3 является полупрямой суммой идеала /4 и алгебры Лоренца so (3, 1) с
D(Mvlv) (Po) = gVoPV - gVcPv,
т. е.
P = /4-D so (З, 1). (36)
В. Представления алгебр JIu
Пусть L — алгебра Ли над полем К, а И — линейное пространство. Представление алгебры LbH — это гомоморфизм X T (X) алгебры L в множество линейных операторов в Н, т. е. для X, Y из L и а, р из К мы имеем
аХ + ?F -> аТ (X) + ?T (F), (37)
[X, F][Т(X), T(F)] = T(X)T(Y) — T(Y)T(X). (38)
Заметим, что ввиду (38) тождество Якоби (3) удовлетворяется автоматически.
Если пространство представления H бесконечномерно, то дополнительно предполагается, что операторы T (X) для всех XQL имеют общую инвариантную линейную область определения D, плотную в Н. (Явное построение области определения D см. в гл. 11, § 1.)
ПРИМЕР 6. Пусть L — произвольная алгебра Ли с коммутационными соотношениями
[X/, Xk] =LilkXi, I, k, /= 1, 2, . . ., п,
где структурные константы c\k взяты вещественными. Тогда отображение
X1-IT(X1)^C1- [^cilll] (39) Алгебры Jlu
25
алгебры L в п X «-матрицы в Rn задает конечномерное представление L. Действительно, в силу (6) и (7) мы имеем
[Т (X1), T (X,)] = CiCi - CiCl = CiiT (Xs). (40)
Представление X —» T(X) алгебры Ли L, заданное согласно (39), называется присоединенным представлением алгебры L.
Пример 7. Пусть L — алгебра Ли, определенная следующим набором коммутационных соотношений:
I Pt, (?] = 4- blkZ, [Ph Zl = 0 = IQb Z], I, к= 1,2,..., п.
(41)
Пусть И = L2 (Rn) и D ---- Q (Rn). Тогда отображение Qi-tXh /= 1, 2, . . ., п,
k=l,2,..., п, Z-* I (42)
задает представление алгебры L в пространстве H с D в качестве общей линейной инвариантной области определения, плотной в Н.
§ 2. Разрешимые, нильпотентные, полупростые и простые алгебры Ли
А. Теорема Ado
Одной из центральных задач в теории алгебр Ли является нахождение и классификация всех неизоморфных алгебр Ли. В § 1, А мы видели, что матричные алгебры An, Bn, Cn и Dn образуют большие классы алгебр Ли. Поэтому можно предположить, что матричные алгебры исчерпывают все возможные алгебры Ли. Это справедливо на самом деле в силу следующего фундаментального результата.
Теорема 1. Всякая алгебра Ли над полем комплексных чисел С изоморфна некоторой матричной алгебре 1J (доказательство см. в работе 141).
Эта теорема справедлива и для вещественных алгебр Ли. Действительно, если L — вещественная алгебра Ли, то по теореме 1 ее комплексное расширение Lc является матричной алгеброй Ли; следовательно, вещественное сужение L0 до L также является матричной алгеброй Ли.
Фактически теорема Адо утверждает, что всякую абстрактную алгебру Ли можно рассматривать как подалгебру полной линейной алгебры Ли gl (п, С), ti = 1, 2, ... . Поэтому задача классификации всех неизоморфных абстрактных алгебр Лн может быть
