Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
mi - Jx(x)fo(xjcbr (17)
g
и
/1
Sm? = IX W да^18)
i=l G
Соотношение (17) показывает, что характер % определяет конечномерное представление T группы G с точностью до эквивалентности. Формула (18) может использоваться как критерий неприводимости представления 7; именно, представление T неприводимо тогда и только тогда, когда (х) % (х) dx = 1. Если 7
G
приводимо, то J X (х) і (х) dx > 1.
G
§ 2. Аппроксимационные теоремы Петера—Вейля и Вейля
В этом параграфе мы докажем несколько полезных теорем, которые позволят нам распространить обычный анализ Фурье на вещественной прямой до гармонического анализа на компактных группах. Начнем со знаменитой теоремы Петера—Вейля.
Теорема 1 (Петер—Вейль). Пусть G = \TS\—множество всех неприводимых неэквивалентных унитарных представлений группы G. Функции
УШD3fk(X)1 sQG, 1 </, fc<ds, (1)
где ds — размерность представления Ts, a Dsjk (х) — матричные элементы представления Ts, образуют полную ортонормирован-ную систему в L2 (G).
Доказательство. Пусть L — линейное замкнутое подпространство в L2 (G), натянутое на все функции (1), и пусть La- — ортогональное дополнение к L. Пространство L инвариантно при правых сдвигах Tr (см. доказательство утверждения 1.6). Поэтому, согласно утверждению 5.3.1, La- также является подпространством, инвариантным относительно Tr. Пусть О Ф v Q Lx. Положим
U (x)=\{TRxv(y))v(y)dy.
(2) Представления коммутативных групп
213
Это непрерывная функция на G, принадлежащая Lx. В самом деле, из (2) имеем
J и (х)Dsjk (x) dx = 2 j V (x)Dsjl (х) dx j v (у) Dskl (у) dу = 0.
Более того, и (е) = IV Ii2 > 0. Теперь положим
w (х) == и (х) f " (*-1) (3)
и рассмотрим оператор
А$(х) = j wixy-1) $ (у) йу. (4)
В силу (3) и в силу конечности инвариантной меры на G А является самосопряженным компактным оператором. Поскольку w ф 0, то существует собственное значение К, % ф 0 и конечномерное собственное подпространство H (А) оператора А. Пусть % (х) — собственная функция оператора А. В силу (4) мы имеем
J 4? (x) Di-J (х) dx = j- J (Лг|;х) (x) Dsij (х) dx -=
=т 2 Jw (х>) D*ik ix'] dx' J ^(х) °ik {х) dx=
k
Поэтому (я) G L1. Оператор Л Т^-инвариантен. В самом деле, (7f Лг|>) (х) = \ w (xzy-1) у (у) dy=\ w (xifx) г|> (zy) d у = (AtU) W-Следовательно, H(K) также инвариантно относительно Tr и формула Tjj.% (у) = (ух) определяет представление группы G
в H(K). Это представление вполне приводимо. Пусть IeUis — базис неприводимого подпространства Hs (А) пространства H (А), заданный собственными функциями оператора А. Мы имеем
7? (У) - el (ух) = Dsjk(X)е)(у).
Так как все собственные функции оператора Л непрерывны, имеем (суммирование по s отсутствует)
Bsk(X) = Dsjk (X) еПе),
т.е. esk ? L. Поэтому H (X) = {0), что противоречит предыдущему заключению. Следовательно, по (3) и (2) L1 — 0. 214
Г лава 5
Следствие. Пусть и (х) є L2 (G). Тогда
dS
и(х)= E E CsikDsjk(X) (4')
''-*=1
<г.
J I «(X) I2 ек= S S И, I2, (5)
.С с/ >•* 1
где
^,--(Is J и (X)Dsjk(X) ск (6)
и сходимость в (4') понимается в смысле нормы в L2 (G).
Доказательство. Формула (4') следует из полноты множества функций (1). Чтобы доказать (5), положим и (х) = uN (х) ¦]- en (х), где
W dS
IlN(X)=Ii E CsjkDsjk(X).
s=l J, A=I
Ясно, что Il en (х) I -»- 0 при N -+СО. Тогда, согласно соотношениям ортогональности (1.9), получаем
N dS
jlh(x)i2ck=^d"1 2 I Cjk I 4" (11N, Zn) + (ejv, UN) + (EN, Ew).
G s=l j. k=l
Используя неравенство Шварца, получаем
N ds
f|«(x)|2dx-2 S Ir
G s=l j, ft=l
% Г
<(21 Un І "І- I Bw II) Il Eyv I ~ * 0.
/v оо
Равенство (5) называется равенством Парсеваля.
Из утверждения 1.6 мы знаем, что каждое неприводимое унитарное представление группы G является подпредставлением правого регулярного представления. Более того, мы также знаем из теоремы 1.4, что регулярное представление является прямой суммой неприводимых унитарных (следовательно, конечномерных) представлений. Следующая теорема завершает описание структуры регулярного представления с помощью его неприводимых компонент.
ТЕОРЕМА 2. Каждое неприводимое унитарное представление Ts группы G появляется в разложении регулярного представления Представления коммутативных групп
215
с кратностью, равной размерности представления Ts. На орто-нормированные векторы
Y\n k (X) = J/Ts Dsjk (X), sfG, j, k = 1, 2, . . ., ds, (7)
при фиксированных j и s натягиваются инвариантные неприводимые подпространства правого регулярного представления, а на ортонормированные векторы
Я(/>(*)= VdlDskj(X), s QG, /, k = 1, 2, . . ., ds, (8)
при фиксированных j и s натягиваются инвариантные неприводимые подпространства левого регулярного представления.
лід
Доказательство. Обозначим через Hln, где s Q G, а / фиксировано, инвариантные неприводимые подпространства в H = = L2 (G), натянутые на ортонормированные вектора (7). Пусть и (х) Q L2 (G). Согласно формуле (4), имеем I
dS dS
U(X)= ? ? CstlDsjk(X)= I IlUstn(X), (9)
