Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
(4)
равен нулю. Таким образом, существует положительное целое число N, такое, что последовательность идеалов (L+)(/;), k = О, 1, 2, ..., N, заданная при помощи (2.3), оканчивается идеалом Алгебры Ли
5T
(L+)(N) = 0. Следовательно, L+ нильпотентна. Аналогично доказывается, что L- нильпотентна.
2°. Ввиду соотношений (1) и (2) и коммутативности Ямы имеем
(L+ -o Я)<!> = [L+ -0 Я, L+ -Э Я] = L+.
Поскольку L+ нильпотентна, существует положительное целое-число N, такое, что (L+ ¦+) Я)W = 0. Таким образом, L+ ¦+) Я разрешима в соответствии с определением 2.1. Аналогично показывается, что L- -Q Я разрешима.
3°. Согласно теореме 4.1, можно записать
L = Я+ ? +L«. (5)
Д
Объединяя в (5) корневые подпространства La, соответствующие-положительным и отрицательным корням, получаем
L= Z +L^ + Я-f ? +L«,
а ? Д+ а ? Д-
что дает равенство (3).
Разложение (3) комплексной полупростой алгебры Ли L называется разложением Гаусса. В качестве иллюстрации найдем явный вид разложения Гаусса для si (п, С).
ПРИМЕР 1. Пусть L = si (п, С). Подалгебра Картана Я натягивается на базисные векторы Hi = ei; — ег+і.і+і, і = 1. 2, ... ..., п — 1 (см. пример 4.1). На векторы esk, s, k = 1, 2, ..., п, s =f= k, натягиваются одномерные корневые подпространства L°'sk. Равенство (1) в этом случае принимает вид
1Я?, esk] = aSk(Hi) esk.
В примере 4.2 было показано, что корни ask при s<fe положительны, а при s > k отрицательны. Следовательно, для si (п, С) мы имеем
L+ = H+ L°4 L-=H+ Lask. (6)
s<ft s>fc
Векторы esk при s < k имеют неисчезающие матричные элементы только над главной диагональю. Следовательно, L+ — нильпотентная подалгебра, состоящая из всех верхних треугольных матриц. Аналогично L~ — нильпотентная алгебра, состоящая из всех нижних треугольных матриц. Таким образом, разложение Гаусса (3) алгебры si (п, С) является не чем иным, как разложением произвольной бесследовой матрицы в прямую сумму верхней треугольной, диагональной и нижней треугольной матриц.
Полезно расширить понятие разложения Гаусса также и на неполупростые алгебры Ли. В общем случае мы говорим, что .<58
Глава 1
алгебра Ли L допускает разложение Гаусса (3), если подалгебры L+, H и L' удовлетворяют условиям 1° и 2° теоремы 1. В частности, для gl (п, С) разложение Гаусса имеет вид
где L+ и L~ — нильпотентные подалгебры, заданные посредством {6), a H — подалгебра всех диагональных комплексных матриц порядка п.
Б. Разложение Картана
Разложение Картана полупростой вещественной алгебры Ли L — это прямая сумма максимальной компактной подалгебры и векторного пространства, натянутого на остальные некомпактные генераторы. Рассмотрим в качестве примера алгебру Ли о (З, 1) группы Лоренца. Обозначая через Кі, і = 1, 2, 3, генераторы компактной подалгебры so (3), а через Ni, і = 1, 2, 3, генераторы чисто лоренцевых преобразований, можно записать коммутационные соотношения (1.23а) в виде
Если через К обозначить компактную подалгебру о (3), а через N — векторное пространство, натянутое на генераторы Ni, то алгебру Ли L = о (З, 1) можно записать в виде
L = K~\-N.
Кроме того, коммутационные соотношения (8) означают, что
[К, К] cz К, [К, N] a N, [/V1 N] а К.
Аналогичные разложения существуют и для других известных полупростых вещественных алгебр Ли, таких, как алгебра де Сит-тера so (4, 1), конформная алгебра so (4, 2) и т. д. Это наблюдение на самом деле является общим свойством.
ТЕОРЕМА 2 (Картан). Полупростая вещественная алгебра JIu L обладает разложением вида
gl (и, C) = L+ + H + L-,
(7)
[K1, K^ = SiilKl, [Ki, N1] = SijlNl, [Ni, Ni = SijlKt
(S)
L = K + P,
(9)
удовлетворяющим
[К, /С] <= К, [К, Р] а Р, [Р, Р] а К,
(10)
и
(X, Х)<0 для ХфО в К, (Y, Y) > 0 для Yi=O в Р.
(H) Алгебры Jlu
59-
Если условия (10) и (11) выполнены, то К — максимальная компактная подалгебра в L.
(Доказательство см. в [390], гл. III, § 7.)
Указанное в теореме 2 разложение полупростой вещественной алгебры Ли называется разложением Картана.
Вид коммутационных соотношений, заданных согласно (10), означает, что отображение
(T(Ar) = A" для XQK, (12)
O(Y)=-Y для YQP (13)
является инволютивным автоморфизмом алгебры L (т. е. а2 = 1). Обратно, для всякого инволютивного автоморфизма а вещественной полупростой алгебры Ли в L существует базис, такой, что формулы (12) и (13), а следовательно, и коммутационные соотношения (10) имеют место. Это следует непосредственно из того факта, что всякий инволютивный автоморфизм вещественной полупростой алгебры Ли можно свести к диагональному виду с элементами +1 или —1 на диагонали (см. доказательство теоремы 5.4).
Векторные пространства К и P ортогональны, так как (X, Y) = (a(X), a (F)) = — (A, Y) для всякого XQK и YQP.
(14)
Следовательно, (X1Y) = 0.
ПРИМЕР 2. Пусть L = si (п, R). Рассмотрим подалгебру so (п)„ натянутую на кососимметрические матрицы (1.14). Отображение
а: X —> —Xt (15}
удовлетворяет условию
а(Х) = Х при XQso(n) = K
