Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
величины
і і і
^h х>г '"" xIr
2 2 2
•*!*! ^i2 ••• Xir
Г Г Г
ХІІ ХІ2 ••¦ ХІГ
(7)
представляют компоненты кососимметрического тензора ранга г,
г
определяемого разбиением Юнга Я = (1, 1, ..., 1, 0, ..., 0), г —
(г)
= 1, 2, ..., я. Тензоры (7) являются поливекторами. 352
Глава 10
Тензоры (5) и (7) можно реализовать в виде функций на факторе Z разложения Гаусса G = ВDZ. Действительно, пусть, например, G — это GL (я, С). Тогда Z состоит из всех нижних треугольных комплексных матриц, заданных согласно (3.6.7). Поливекторы (7) могут быть выражены через миноры элементов 2 Є Z в виде
Zy1I Zii г
Чг\ Z2I
7-і,г
M2 г
2/,-1 Zir 2 ... Zirr
I < г < п.
Аналогично можно показать, что симметрические тензоры T—т- могут быть реализованы в классе полиномов от эле-
• I • 'г
'і I 'г
ментов первого столбца матриц z ? Z: 1, z21, z3l, ..., znl, однородных степени г. Среди компонент тензора T с заданной симметрией Юнга К существует выделенная компонента, задаваемая при помощи следующей схемы Юнга:
пА
п-\
п-1
/7-1
VA
(8)
Ял -2 -Яп
An-1-Л
Лп
связанной с разбиением Я, = (A1, A2, ..., Kn). Эту компоненту можно представить при помощи следующего произведения поливекторов и симметрического тензора:
Wn =е
1 ... е " 1
2 2
п п
... е P
1 1 1
? ? 2
/7-2
ri-l /7-1
п- 1-Л Л
... е
Г P
1 I 1 t 1
2 2 V Л
Л?" As
(9) Точное построение конечномерных неприводимых представлений 353
Упорядочим индексы тензора с заданной симметрией Юнга X = (X1, X2, ..., Xn), X1 + X2 H— Xn = г таким образом, чтобы они соответствовали так называемой стандартной схеме Юнга. В соответствии с этим независимые компоненты тензора T соответствуют стандартной схеме, которая имеет неубывающие индексы слева направо и возрастающие индексы сверху вниз. Например, для тензора третьего порядка, ассоциированного с диаграммой Юнга ~ мы записываем
rTI
h
, где в соответствии с пра-
вилом Юнга I1, i2, I3 — 1, 2, ..., п и I1 < I2, I1 <5 I3; для ti = = 2 имеем поэтому следующие независимые компоненты:
1 \
2
1 2
2
В частности, для компонент полностью симметрического и полностью антисимметрического тензоров в соответствии с этой договоренностью имеем тогда соответственно
T
1-І
111 h. >
.,4 = 1 2
,2, ...,л
/, ? Z2^ ... ^ Ir
•••> І,- 1, 2, ..., /7
г, < i2 < ... < ir.
(10)
Б. Тензорные представления групп GL (п, С), SL (я, С), GL (п, R), SL (п, R), U (р, q), SU (р, q), U (п), SU (п) и SU* (п)
В этом разделе неприводимое представление TL'n группы
GL (п, С) мы отождествляем с некоторым тензорным представле-
i
нием. Прежде всего с представлением Tl"' группы GL (п, С)
і
с фундаментальным весом т = (1, 1, ..., 1, 0, ..., 0) сопоставляем
(О
тензорное представление.
Пусть X = (X1, ..., хп)—элемент линейного пространства
Ht = С", в котором GL (я, С) реализована как g -> Tg = D (g) = = g. Пусть Z — фактор разложения Гаусса G = i\DZ. Тогда 354
Г лава 5
действие (1) в Ht элемента г ? Z задается по формуле
1 0
z2i 1
ZX = z3i z32 1
Zn 1 z«2 Zn3 •• • 1
X1
X3 =
Хп
X1
%2lxl ~Ь х2
г:их1 ~Ь 232? хз ZnixI +WaH-----M,,
(И)
Отсюда видим, что элемент Т\ натянутом на компоненты T
ПН
X1 ... X1 в пространстве,
, является единственным инва-
риантным вектором в Z, определенным с точностью до константы нормировки. Значит, в силу следствия 1 теоремы 8.2.2 ^QTTQ—
старший вектор. Для б = (бь б2, ..., б„) ? D получаем
TbUn0l^SrUn01. (12)
Следовательно, т = (г, 0, ..., 0). Это предполагает, в частности, что векторное представление T: g -> Tg = g соответствует представлению Tl"1, ассоциированному с фундаментальным старшим весом т = (0, 0, ..., 1).
Следующая теорема показывает, что все фундаментальные представления GL (п, С) могут быть реализованы как поливекторные представления.
г
Теорема 2. Линейное пространство Ht всех поливекторов
г
ранга г является пространством неприводимого представления TL'n группы GL (п, С), ассоциированного с фундаментальным старшим
г
весом т = (1, 1, ..., 1, 0, ..., 0).
(Я
г
Доказательство. В качестве базисных векторов в Ht мы можем взять поливекторы (7). Поскольку для б ? D, Sx = (S1X1, б2х2, ..., 8„х„), мы имеем
(TeP)IlIa- Ir = бI1Si2... Siec1I2 •¦• Ir, (13)
Т. е. ВСЯКИЙ базисный вектор Є[і if является весовым вектором. Используя равенства (11) и (7), убеждаемся, что вектор е12...г является единственным инвариантом подгруппы Z. Таким образом, в силу следствия 2 теоремы 8.2.2, он является старшим вектором неприводимого представления. Ввиду (13) соответствующим
целочисленным старшим весом является S1 S2
значит, Точное построение конечномерных неприводимых представлений 355
неприводимое представление Tlт в Ht определяется старшим
г
весом т — т = (1, 1, 1, 0, ..., 0).
и
Следовательно, представление (1) GL (я, С) в пространстве всех поливекторов {?,- f ;г\ ранга г соответствует представле-
