Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Us = ехр (ispl/ (Xp)), Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 295
где представления генераторов мы обозначили через U (Xp). Рассмотрим «однопараметрическую» подгруппу глобального представления Ug (Я) = exp (i KspU (X,,)). Положим
T'a(X) = Ug\X)T0Uga) (5)
и продифференцируем это равенство по К:
= -isp exp (-iXs„(/ (Xp)) IU (Xp), Т°\ exp (іKspU (Xp)). Используя (4) и (5), получаем
= SpDZ(Xp) Tb(K).
Это дифференциальное уравнение с начальными условиями Т'а (0) = Ta имеет следующее решение:
7'° ^ = Iexp (^pD (Х))1ьаГ'ь.
В силу (5) при К = 1 мы получаем формулу (2).
Говорят, что тензорный оператор {Т^)0} неприводим, если g-»-D(s>(g) неприводимо. Простейший пример неприводимого тензорного оператора дается любым инвариантным оператором С группы G. В этом случае
Ug1CUg = с,
т. е. g->D(g) = 1. Следующий пример менее тривиален.
Пример 1. Пусть G — группа вращений в Rn, H = L2 (Rn) и (L/gij)) (х) = яр (g'lx). Пусть T^ = JC11 — оператор координаты (лги))) (д) = (х). Тогда
(Ug1XliUgip) (X) = (>(/,i|>) (gx) = g»xv (Ugip) (gx) =
= (X) = gWrp(x).
Поэтому
Ug1XWg = gUv, (6)
т. е. множество {jc^} является контравариантным тензорным оператором.
Определение 2. Множество \Та\, а = 1, 2, ..., dim D, операторов называется ковариантным тензорным оператором,
V
если оно преобразуется по представлению D (g) = Dr (g~l), кон-траградиентному D (g), т. е.
U'1 TaUg = Dlb (g-1) Tb = Db (g-1) Tb. (7) 296
Г лат 9
На уровне алгебры Ли соотношения (7) и (3) дают
[(/(X), Ta] = -XDba(X)Tb. (8)
Замечание 1 применимо также к определению 2. Если g -> D (g) — унитарное представление группы G1 то пространство V имеет метрический тензор gab = 8"b. Следовательно, мы можем положить Dl (g") == Dab (g) во всех формулах. Мы видим, что стандартное определение тензорного оператора Tim для SO (3), заданное формулой (1), соответствует определению I контравариантного тензорного оператора.
Пусть L — произвольная алгебра Ли с базисом Xa, и пусть Xa -> ?/ (Xa) — представление алгебры L самосопряженными операторами в Я. Тогда множество {Т0} = \U (Xa)}, а = 1, 2, ... ..., dim L, является ковариантным тензорным оператором для L. В самом деле, в силу соотношений коммутации в L мы имеем для этого специального тензорного оператора
[U (Xb), Tа\ = ICcbaTc. (9)
Множество матриц D (Xa) = —Ca = || —Ccab || задает представление алгебры L в силу тождества Якоби (1.1.7). Поэтому условие (8) удовлетворено. Итак, множество \U (Xa)( является ковариантным тензорным оператором.
Для произвольных тензорных операторов {Qa( и \Та\ оператор С = QaTa является инвариантом. В самом деле,
Ul1CUg = Dba (g-1) Dab. (g) Qb Tb' = Dby (g-'g) Qb Tb' = hbb,Qb Tb' = С,
(10)
или
[С, U (Xu)] = 0. (10')
Это дает удобный метод построения инвариантов алгебры Ли, который мы часто используем ниже.
определение 3. Множество {r^3" Ur] называется кон-травариантным тензорным оператором ранга г, если
>4J е = D^(g) D^(g) ... D^(g) TW--V. (11)
Аналогично определяются ковариантные тензорные операторы I^H1H2...цг} и смешанные тензорные операторы |T^p2o...^j-
Замечание 2. Не каждое множество операторов \Та\, которое имеет тензорный индекс а, представляет собой тензорный оператор. Важным контрпримером являются генераторы группы Пуан- Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 297
каре. В самом деле, под действием группы Пуанкаре генераторы Pu преобразуются следующим образом:
\U\lh)PvU (QA)iJ)] (р) = (PuU{aA)) ехр (—і pa) (Ар) =
= (Л)lpv ехр (ipo) (и{аА)) у (Ар) =
= K PvV (P) =(AT1)IP^(P),
т. е.
^A)P»t/(.A) = (A-1);Pv (И')
Таким образом, Pil преобразуется по контраградиентному представлению группы Пуанкаре, заданному формулой
(а, А) >((), Л)"1Г = (О, Л-1Г),
т. е., согласно определению 2, Pll — ковариантный тензорный оператор. С другой стороны, коммутационные соотношения генераторов Mllv, например с Pll дают
[Po, AflivI - І (?,кт/\ - последовательно, множество jM|lv} не может образовывать тензорный оператор для группы Пуанкаре Il согласно определениям (4) и (8). Однако множество JPfj, Mm} образует тензорный оператор согласно (9).
Определение 4. Ковариантный тензор {g^...^ } в V называется инвариантным, если он удовлетворяет условию
К\ (S) ¦¦¦ DvnPp (g) gVi .. Vp = gll| ... v (12)
Символ Кронекера Sij и символ Леви—Чивита Eijk — единственные инвариантные тензоры в P3 по отношению к SO (3).
Следующая теорема описывает некоторые важные свойства тензорных операторов.
Теорема 1. 1° Свертка { T^... j^i' . . . р^'} тензорного опера-
I ... vsa. ... а ї
тора j ... HsP^... ^ j снова является тензорным оператором.
2° Если {7'м*"'цр}— тензорный оператор, который преобразуется по тензорному произведению D®... ®D представлений g-+D(g), a SrHi...^ — ковариантный инвариантный тензор
относительно контраградиентного представления D (g) = Dt (gr1). то оператор
T = ^1 ...»Т*1 -liP является инвариантом группы G, т. е. 298
Г лава 5
