Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
OC
дое число а обладает свойством: ехр (—2та)—собственное число матрицы А. Для каждого а коэффициент Pa—многочлен от In t, его степень меньше максимума размеров жордановых блоков матрицы А с собственным числом ехр (—2nia).
Это утверждение означает, что коэффициенты матрицы J растут достаточно медленно. Поэтому вектор-функция I • J мероморфна в нуле. Следовательно, она разлагается в ряд Лорана, в котором конечное множество отрицательных степеней. Теперь, умножая этот ряд на J~x, получаем теорему 2.
В. Уточнение теорем 2, 3. Если при деформации цикла в линию исключительного уровня цикл остается в ограниченной части пространства, то интеграл по циклу полиномиальной формы остается в процессе деформации ограниченным. Более того, если цикл, продеформированный в линию исключительного уровня, гомологичен в ней нулю, то интеграл полиномиальной формы по циклу стремится в процессе деформации к нулю. Эти утверждения Доказаны Б. Мальгранжем [185]. Приведем их точную формулировку. Будем, как и ранее, предполагать, что исключительное значение равно нулю.
Обозначим через Xt линию уровня t. Обозначим через Xt, r множество точек линии уровня t, удаленных от начала координат на расстояние, не большее чем R. Для малых вещественных поло § 10] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ
205
жительных t рассмотрим семейство одномерных целочисленных классов гомологий о (i) ^ H1 (Xt, Z), непрерывно зависящих от 7. Скажем, что при t—>-0 это семейство является семейством гомологий, ограниченных шаром радиуса R, если для всех достаточно малых t класс а (і) лежит в образе естественного гомоморфизма Тд: НЛХ-URt Z)—+H1 (Xt, Z). Ясно, что если семейство ограничено шаром радиуса R, то оно ограничено и всяким шаром большего радиуса.
Скажем, что при t —>- 0 семейство ограниченных гомологий является семейством исчезающих гомологий, если существуют R > 0, б > 0, обладающие свойствами:
а) семейство ограничено шаром радиуса R;
б) для каждого t?( 0, б) существует класс о (t) ? H1 (Xti R, Z), который при гомоморфизме yR переходит в о (і) її который принадлежит ядру естественного гомоморфизма H1 (Xt Z) —* — #t(X, Z), где X= U Xur.
Теорема 3' (см. [185]). Если сг—семейство ограниченных гомологий, то при t—+ 0 существует конечный предел интеграла J со. Этот предел равен нулю, если семейство является
с (О
семейством исчезающих гомологий.
Следствие теорем 2, 3'. Пусть сг—семейство ограниченных гомологий. В малой окрестности нуля распространим его по непрерывности на параметры с произвольными аргументами. Получим многозначное семейство целочисленных классов гомологий, непрерывно зависящих от параметра. Согласно теореме 2 функция, задаваемая интегралом полиномиальной формы по классам семейства, в окрестности нуля разлагается в ряд У; 0?, aia (In t)k. Согласно теореме 3' в этом ряду все а неотрицательны и все коэффициенты akt0 при ? > 0 равны нулю. Более того, если сг—семейство исчезающих гомологий, то все а положительны.
Пример. Пусть у3+X3 — многочлен, на линиях уровня которого лежат циклы. В окрестности нуля всякое семейство одномерных целочисленных гомологий, непрерывно зависящих от параметра, является семейством исчезающих гомологий (см. замечание в п. Б). Поэтому в ряде примера на стр. 202 все показатели положительны.
В следующих пунктах этого параграфа мы обобщим полученные результаты в трех направлениях. Во-первых, увеличим размерность пространства. Во-вторых, разрешим многочлену голоморфно зависеть от дополнительных параметров. В-третьих, заменим многочлен голоморфной функцией.
10.2. Голоморфная зависимость от параметров. Рассмотрим голоморфную функцию, переменные которой разделены на две группы: F (X1, .. ., хп, у1У ..., уЭта функция задает семейство голоморфных функций на С", голоморфно зависящих от парамет- 206 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
ров у = (у±, ...,ук). Обозначим через X(tilj) гиперповерхность уровня t функции F (•, у):
*> = {*€ С» I F(x,y) = t\.
Предположим, что на гиперповерхности некритического уровня ta функции F (¦, у0) выделен (п—1)-мерный цикл. Непрерывно деформируя этот цикл из одной гиперповерхности уровня в другую, мы получим непрерывное семейство циклов на гиперповерхностях уровней, близких к выделенному уровню, функций, параметры которых близки к выделенным. Цикл, лежащий на гиперповерхности X{t,y)) обозначим через a(t, у).
А. Интегралы голоморфной (п—1)-формы. Предположим, что на пространстве С" задана голоморфная дифференциальная (п—1)-форма, голоморфно зависящая от параметров у:
п л
® = S ht (хи ...,Xn, Уі, .... yk) dxiA ..^dxl... Adxn, t= і
где {hi}—голоморфные функции. Рассмотрим интеграл / (t, у) — = J <о(у). Интеграл, как функция параметров t, у, определен
a(t, у)
в окрестности точки (t0, у0) пространства CxCft. Ограничение формы на гиперповерхность уровня замкнуто (поскольку на (п—1)-мерном голоморфном многообразии нет отличных от нуля голоморфных n-форм). Следовательно, интеграл определяется классом цикла в группе (п—1)-мерных гомологий гиперповерхности и не зависит от цикла, представляющего класс. Кроме того, интеграл формы по циклу, продеформированному в соседнюю гиперповерхность уровня, не зависит от деформации, поскольку разные деформации приводят к гомологическим циклам.
