Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим важность определенных в пп. 10.3.А, 10.3.Г понятий специализации развертки деформации ростка голоморфной функции и расслоения Милнора деформации ростка голоморфной функции. 198 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
10.1. Пример. Рассмотрим в C2 линии уровня многочлена. Если значение уровня не критическое, то линия уровня является неособой римановой поверхностью. Можно представлять себе линии уровня многочлена f(x, у)=у2-{-х3, все они, за исключением линии нулевого уровня, являются поверхностями рода 1, из которых выколота одна бесконечно удаленная точка. Предположим, что на C2 задана полиномиальная дифференциальная 1-форма, например, форма со=ydx. Наконец, предположим, что на одной из неособых линий уровня выделена замкнутая кривая. Рассмотрим интеграл формы по кривой. Будем изучать изменение интеграла при непрерывной деформации кривой из одной неособой линии уровня в другую. В выбранном нами случае интеграл называется эллиптическим, и таким образом мы собираемся изучать зависимость от параметра периода эллиптического интеграла.
Мы докажем, что вне конечного множества исключительных значений параметра интеграл является многозначной голоморфной функцией параметра. Мы объясним связь ветвления значений интеграла с топологией расслоения, которое задает многочлен, ограниченный на дополнение к объединению линий исключительных уровней. Мы докажем, что в окрестности произвольного значения параметра интеграл разлагается в ряд по дробным степеням параметра и целым степеням логарифма параметра, при этом степени параметра и степени логарифмов параметра определяются жорда-новой структурой оператора монодромии в одномерных гомологиях линии уровня, отвечающего обходу вокруг исключительного значения параметра.
А. Голоморфная зависимость от парамет-р а. Начнем с важного замечания: форма, ограниченная на линию уровня, замкнута. Действительно, на комплексной кривой нет отличных от нуля голоморфных 2-форм. Это замечание имеет два следствия. Во-первых, интеграл не меняется при замене кривой интегрирования на гомологичную кривую (теорема Стокса). Во-вторых, интеграл формы по кривой, продеформированной в соседнюю неособую линию уровня, определен корректно. Действительно, две разные непрерывные деформации в соседнюю линию уровня приводят к гомологичным кривым. Таким образом, интеграл формы по кривой, продеформированной в линии уровня, близкие к выделенной, определяет функцию, относящую интеграл значению многочлена на линии.
Теорема 1. Интеграл — аналитическая функция значения многочлена.
У нас есть функция в окрестности выделенной точки комплексной прямой, докажем ее голоморфность. Сначала докажем, что эта функция гладкая.
В окрестности исходной кривой интегрирования многочлен не имеет критических точек, поэтому в окрестности исходной кривой интегрирования отображение /: C2 C1 является гладким ло- § 10] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ
199
кально тривиальным расслоением. Выберем его гладкую тривиа-лизацию и с помощью тривиализации разнесем исходную кривую интегрирования в соседние линии уровня многочлена. Рассмотрим интеграл формы по одной кривой построенного семейства. Он равен интегралу по исходной кривой интегрирования формы, перенесенной с помощью диффеоморфизма тривиализации на исходную линию уровня. Таким образом, на исходной линии уровня есть кривая и дифференциальная 1-форма, гладко зависящая от комплексного параметра. По стандартной теореме анализа интеграл формы по кривой гладко зависит от параметра.
Кривую на линии уровня s, построенную с помощью тривиализации, обозначим через cr(s).
Для завершения доказательства представим наш интеграл в виде интеграла мероморфной 2-формы по вещественной поверхности. В качестве 2-формы возьмем форму d/A<o/(/—і), где t—значение многочлена на исходной линии уровня. Опишем поверхность. На комплексной прямой рассмотрим малый путь у, обходящий против часовой стрелки число t. Обозначим через Г поверхность в С2, образованную объединением кривых, параметры которых принадлежат пути: Г = U cr(s).
ssv
Лемма 1. Интеграл ~ ^ -yzzj не зависит от выбора пути у
г
и равен J to.
а(0
Теорема следует из леммы, поскольку интегральное представление леммы голоморфно зависит от t.
Доказательство леммы. Независимость от пути следует из теоремы Стокса в силу замкнутости 2-формы. Докажем равенство интегралов:
= Г аЛ^- =
2яг J f—t 2т){ J \ s—t
г у \y(s) J
У \вЦ) J 7 Vo(S) а (О /
Первый интеграл правой части равен нашему интегралу. Подынтегральное выражение второго интеграла гладко зависит от s. Поэтому второй интеграл стремится к нулю, если в качестве пути брать окружность стремящегося к нулю радиуса. Таким образом, второй интеграл равен нулю. Лемма доказана.
Б. Ветвление интеграла. Выясним глобальные свойства функции, заданной интегралом полиномиальной дифференциальной 1-формы по замкнутой кривой, лежащей на линии уровня многочлена. 200 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
Согласно стандартным теоремам (см. [17, 232]) из C2 можно удалить конечное множество линий уровня многочлена так, что ограничение многочлена на их дополнение является локально тривиальным расслоением. Обозначим эти значения уровня через Z1,..., tN. В выбранном нами примере достаточно выбросить линию нулевого уровня.
