Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы сформулировать следующую теорему, сделаем несколько замечаний. Пусть F: iR" х Rli —* R—минимальная версальная деформация простой или параболической критической точки (р,—кратность критической точки). Обозначим через Wr подмножество базы деформации, состоящее из всех точек у, для которых функция F (•, у) имеет критическую точку кратности г. Множество Wr имеет коразмерность г—1, за исключением того случая, когда исходная критическая точка является параболической. В этом случае размерность множества Wvl равна 2. Будем обозначать через ?(a) показатель осцилляции критической точки типа ст.
Теорема 18 (см. [139]). Предположим, что фаза осциллирующего интеграла 1(х, у) является минимальной версальной деформацией простой или параболической критической точки. Тогда, если носитель амплитуды сосредоточен в достаточно малой окрестности исходной критической точки, то осциллирующий интеграл допускает оценку:
где ?p=max {?(a)|cr — критическая точка кратности р, примыкающая к исходной критической точке} и
ф,(*/)<const-dO/, Wp+1)-aPr+K..d(y,
В этой формуле d—расстояние в произвольной римановой метрике на базе версальной деформации, числа а?+1, —положительные рациональные числа, определяемые по исходной критической точке (см. в [139] их определение).
Замечания. 1. В этой теореме р—\, ...» M- Для теорема утверждает оценку осциллирующего интеграла с равномер- f 6]
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
15?
ным показателем, равным индивидуальному показателю исходной критической точки.
2. Все простые и параболические^;критические точки квазиодно-родны. База версальной деформации квазиоднородной критической точки имеет естественную квазиоднородную структуру. Простые и параболические критические точки выделяются в классе квазиоднородных критических точек условием неотрицательности весов квазиоднородности базы версальной деформации. Неотрицательность весов — основа доказательства теорем 17, 18. Теоремы доказываются индукцией по кратности исходной критической точки. В базе версальной деформации рассматривается квазисфера. По индуктивным предположениям при ограничении параметров деформации на квазисферу требуемая оценка уже доказана. Эта оценка распространяется на всю базу с помощью квазиоднородной структуры. Числа а1-, участвующие в теореме, конструируются из весов квазиоднородности базы и показателей осцилляции примыкающих критических точек.
6.8. Наибольший показатель особости. Рассмотрим критические точки, которые неустранимы малым шевелением из семейств функций п переменных, зависящих от I параметров. Максимум их показателей особости в зависимости от /, п имеет вид ? г (п.) = 1/2—UN, где число N при гС^Ъ дается таблицей
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, п = 3 11, я = 3 ю, п> 3
N +2 +3 +4 +6 +8 + 12 OO со —24 —16 —12 —8 —6
Все числа ?i=?i(n) рациональны (см. п. 7.4). При достаточно больших п число ?j не зависит от п (следствие теоремы Кушни-ренко в п. 12.7 ОДО-1 и теоремы о выделении квадратов в п. 11.1 ОДО-1).
Вычисление всех рациональных чисел кажется трудной задачей. По-видимому, ?z~ 21/6. Гипотетически невырожденная кубическая форма от п переменных является в своей коразмерности критической точкой с максимальным показателем особости (т. е. при / = п (п +1 )/2). Иными словами, Ря(Л+1)/2 = га/6 (см. [4]). Из теоремы 5 следует, что Pi (2) ~ 1 —V2/1. Из теоремы 5 также следует, что при п = 2 максимум показателей особости при заданной кратности (X имеет асимптотику 1—2/j/^.
6.9. Расположение материала главы. В § 7 мы определяем форму Гельфанда — Лере и обсуждаем ее свойства. Мы рассматриваем критическую точку одночлена и выражаем ее показатель осцилляции и множество показателей через показатели одночлена. Мы вводим дискретные характеристики разрешения особенностей критиче- 158
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
ской точки аналитической фазы и выражаем через них показатель осцилляции и множество показателей критической точки.
В § 8 мы доказываем теорему 4. Для этого по многограннику Ньютона мы строим аналитическое многообразие и его отображение на IRn. Построенные многообразие и его отображение разрешают особенности всякой критической точки с данным многогранником Ньютона при условии, что главная часть ее ряда Тейлора IR-невырождена. В § 9 доказывается аддитивность показателя осцилляции и его кратности, объясняются вычисления показателей табличных функций, приводятся примеры, демонстрирующие отсутствие полунепрерывности показателя осцилляции при деформациях критической точки.
§ 7. Элементарные интегралы и разрешение особенностей фазы
В этом параграфе изучаются асимптотики осциллирующего интеграла, фаза которого — одночлен. Указывается связь асимптотик осциллирующего интеграла с полюсами мероморфной функции
F (к)=^fx (х)ф (x)dx, где f — фаза, ф — амплитуда осциллирующего интеграла. Вводятся дискретные характеристики разрешения особенностей критической точки фазы: вес разрешения, набор кратностей. Описывается связь этих характеристик и основных характеристик асимптотического поведения осциллирующего интеграла: показателя осцилляции, его кратности и множества показателей.
