Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Рассмотрим функции g, h примера на стр. 139. Система координат X1, X2 приспособлена к критическим точкам этих функций (соответственно в силу пунктов в), а) леммы 2). По теореме 5 показатели осцилляции равны соответственно —5/12, —1/2.
Замечание 1. Утверждение о том, что коэффициент при старшем члене асимптотического ряда пропорционален значению амплитуды в критической точке (см. дополнения теорем 4, 5), можно использовать при решении следующей задачи интегральной геометрии.
Задача. Пусть tp — гладкая функция с носителем, сосредоточенным в малой окрестности критической точки гладкой функции f. Зная интегралы функции ф по всем гиперповерхностям уровня функции f, восстановить значение функции <р в указанной критической точке.
Для решения этой задачи достаточно взять коэффициент при старшем члене асимптотического ряда осциллирующего интеграла с фазой / и амплитудой ср, если критическая точка функции f конечнократна и ее удаленность больше —1. Подробнее см. в п. 7.3.
Замечание 2. Показатель особости неотрицателен для критических точек фаз одной и двух переменных (см. теоремы 4, 5), для критических точек, удовлетворяющих условиям дополнения
г) теоремы 4. Пользуясь дополнением г) теоремы 4, можно доказать, что показатель особости неотрицателен для критических точек фаз трех переменных. По-видимому, показатель особости неотри- 144
цателен всегда. Это означает, что порядок сложного коротковолнового колебания в каустической точке, по-видимому, всегда больше порядка сложного коротковолнового колебания в некаустической точке (см. пп. 6.1.А, 6.1.Г). В частности, световая каустика, по-видимому, всегда выделяется своей яркостью.
В § 13 определен комплексный показатель особости критической точки голоморфной функции. Комплексный показатель особости всегда неотрицателен, см. п. 13.3. Доказательство этого факта использует связь асимптотик интегралов и смешанных структур Ходжа.
6.3. Разрешение особенностей. Доказательство теорем 3—5 использует разрешение особенностей критической точки фазы.
Рассмотрим функцию /: IR" —>- IR, аналитическую в окрестности своей критической точки х. Предположим, что значение функции в этой точке равно 0. Разрешением особенностей критической точки называются n-мерное аналитическое многообразие Y и его аналитическое отображение я: Y—s-IRn, обладающие следующими свойствами.
1. В каждой точке прообраза критической точки х найдется система локальных координат, в которой функция /оя и якобиан отображения я равны одночленам с точностью до умножения на не обращающиеся в нуль функции.
2. В малой окрестности критической точки х найдется собственное аналитическое подмножество, вне которого в этой окрестности отображение я аналитически обратимо.
3. Прообраз любого компакта из малой окрестности точки х компактен.
Замечание 1. Из первого условия, в частности, следует, что в окрестности прообраза точки х гиперповерхность нулевого уровня функции /оя локально устроена как объединение координатных гиперплоскостей.
Замечание 2. Иногда требования к отображению я усиливают, заменяя свойство 2 на свойство 2' или даже на свойство 2" и добавляя свойство 4.
2'. В малой окрестности точки х отображение я обратимо вне гиперповерхности нулевого уровня функции f.
2". В малой окрестности точки х отображение я обратимо вне критического множества функции /.
4. В малой окрестности прообраза точки х гиперповерхность нулевого уровня функции /о я является объединением неособых (п—1)-мерных подмногообразий.
Теорема 6 (Хиронака; см. [106, 125]). Существует разрешение особенностей (со свойствами 1, 2", 3, 4} критической точки аналитической функции.
Эта теорема сформулирована в [125], она является частным случаем общей теоремы Хиронаки о разрешении особенностей (см. [106]). f 6] ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
145
Замечание 3. Понятие разрешения особенностей имеет естественный комплексный аналог. Рассмотрим функциюCn—* С, аналитическую в окрестности своей критической точки х. Разрешением называются n-мерное комплексное аналитическое многообразие Y и его аналитическое отображение я: Y—- С", которые обладают сформулированными выше свойствами. И в этом случае справедлива теорема Хиронаки.
Теорема Хиронаки сводит исследование осциллирующего интеграла с аналитической фазой к исследованию суммы осциллирующих интегралов, фаза каждого из которых — одночлен. Для этого в интеграле надо сделать замену переменных с помощью отображения я. Осциллирующие интегралы с одночленной фазой называются элементарными. Элементарные интегралы изучаются в §7. Для них несложно указать показатель осцилляции, его кратность, множество показателей. Поэтому при исследовании осциллирующего интеграла с аналитической фазой важно знать разрешение особенностей фазы, уметь следить за тем, как асимптотический ряд для исследуемого интеграла складывается из асимптотических рядов элементарных интегралов, следить за тем, не сокращаются ли при этом старшие члены. Результатом такого анализа является выражение показателя осцилляции и аналогичных характеристик в терминах разрешения особенностей фазы (теорема 7.5). Теоремы 4, 5 — это переформулировки свойств разрешения особенностей, участвующих в этом анализе, в терминах многогранников Ньютона.
