Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
бифуркационные диаграммы
55
Локальный вариант этой теоремы, часть которого мы здесь используем, формулируется аналогичным образом. Его доказательство приведено в [161].
Если Y—петля в дополнении D8—S8 к бифуркационной диаграмме нулей особенности /, то по аналогии с п. 2.1 через hT, будем обозначать соответствующий автоморфизм группы гомологий неособого многообразия уровня особенности / (Ay, принадлежит группе монодромии особенности /).
Особенности соответствует еще одна бифуркационная диаграмма—бифуркационная диаграмма функций. Для ее определения рассмотрим миниверсальную деформацию F0 (х, v) особенности / в классе функций, равных нулю в точке 0. Такая деформация имеет (fx—1) параметр. Будем называть ъе ограниченной миниверсальной деформацией. В качестве нее можно, например, взять
деформацию F0 (х, v) = / (х) -f 2 v^i- (¦*)» где v = (v0, . . ., V1^1),
і = 1
Ф0, <pj, . .., —ростки, порождающие базис факторкольца кольца ростков в нуле голоморфных функций по якобиеву идеалу (0//0?, ... ..., df/дхп) особенности /, ф0 = 1, ф,- (O) = O при і (деформация F0 (х, V) отличается от миниверсальной деформации F (.х, v) отсутствием слагаемого v0 1, которое не влияет на тип функции).
В маленькой шаровой окрестности De нуля в базе Cp-"1 ограниченной миниверсальной деформации рассмотрим множество тех значений параметров v, при которых функция F0(-, v) в окрестности Bp нуля в пространстве С" является морсовской, т. е. имеет ТОЛЬКО невырожденные критические ТОЧКИ (в количестве [1 штук) с различными критическими значениями. Дополнение S8 к нему называется бифуркационной диаграммой функций особенности /. Топологический тип пары (De, S8), конечно, не зависит от є для достаточно малых є. Se является гиперповерхностью в пространстве Cp--1. Она, очевидно, приводима, так как является объединением двух гиперповерхностей. Одна из них—это множество значений параметров v, для которых функция F0(-, v) имеет вырожденные критические точки, а вторая—множество тех значений v, для которых она имеет критические точки с совпадающими критическими значениями.
Примеры. 1) Бифуркационная диаграмма функций особенности A2, очевидно, состоит из одной точки 1 = 0 в базе C1 ограниченной миниверсальной деформации.
2) Бифуркационная диаграмма функций особенности A3 состоит из тех значений (A1, X2) ? С2, при которых многочлен х1 + X1X2 -f- X2X либо имеет вырожденную критическую точку, либо имеет две невырожденные критические точки с одинаковыми критическими значениями. Второе из этих множеств совпадает с ^A2 = 0} а С2. Первое может быть описано условием, что многочлен 4х3+ 2А1х+А2 (производная многочлена х* -f- A1X2 -f-Х2х) имеет кратный корень. 56
топологическое строение
1
Ггл. I
Это будет при + = Бифуркационная диаграмма функций
особенности A3 изображена на рис. 27.
Имеется естественное отображение (проекция) р базы минивер-сальной деформации Cm- на базу ограниченной миниверсальной деформации Cli-"1. Можно показать, что росток пространства Se
совпадает с множеством нерегулярных значений отображения Se —>- О-1, являющегося композицией вложения S8 с_> Сд и проекции р. я, Над дополнением к бифуркационной диаграмме функций Se особенности f это отображение определяет [х-листное накрытие.
3.2. Связность ©-диаграммы и «неприводимость» оператора классической монодромии особенности. В п. 3.1 указывалось, что бифуркационная диаграмма функций особенности всегда приводима (за исключением тривиальных случаев особенностей кратности один и два). В отличие от нее бифуркационная диаграмма нулей особенности неприводима.
Теорема 2 (см., например, [37]). Бифуркационная диаграмма нулей Se особенности f является неприводимым аналитическим множеством. Более того, существует росток собственного отображения (Cp--1, 0)—> (Cp-, 0), образ которого совпадает с пространством Se и которое является изоморфизмом вне множества особых точек Se.
Отображение пространства C5x-1 в базу миниверсальной деформации Cp- особенности f, указанное в теореме, может быть построено следующим образом. Рассмотрим множество ростков функций g: (С*, 0)—*(С, 0), удовлетворяющих условиям g (0)==0, dg (0)=0. На нем действует группа ростков аналитических диффеоморфизмов пространства С", сохраняющих точку 0. Орбита особенности f под действием этой группы является неособым комплексным многообразием коразмерности р,— 1 (для строгости следует рассматривать все в пространстве струй достаточно высокого порядка). Трансверсаль к орбите в точке f имеет размерность (р,— 1) и определяет некоторую (р.— 1)-параметрическую деформацию особенности f. Как всякая деформация особенности /, она эквивалентна деформации, индуцированной из миниверсальной при некотором отображении ее базы Cti-1 в базу Cfx миниверсальной деформации. Поскольку все функции рассматриваемой деформации имеют 0 критическим значением, все пространство Cli-1 переходит при этом отображении в бифуркационную диаграмму нулей S8. Это и есть отображение, описанное в теореме 2.
Из этого утверждения А. М. Габриэлов ([37]) и Ф. Лаццери ([174]) вывели следующий результат.
