Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Бифуркационной диаграммой нулей (или 50
топологическое строение
[гл. i
..., (? + 1)). Индексы пересечений этих циклов даются формулами (А/оЛ/) = 2, (Ay0Ay41) = -I1 (А;оД,,) = 0 при |/ —
Первые вычисления формы пересечения и оператора классической монодромии для функции нескольких переменных были
п
проделаны Ф. Фамом ([94]) для особенности вида / (х) = 2 xIk
A= 1
п
(ak 2). Кратность этой особенности равна JI (ак—Ф- Фам
k — і
доказал, что в группе Нп_г (Ve) гомологий неособого множества уровня функции / существует такой базис in (0^ ik ^ak — 2)
в обозначениях Ф. Фама .,. ;„ = ( IJ е\ , что
— - ;1 Kk=I J .
(etl... ° ft,... tn) = (-1Г^~(1 + (-і)""1);
njn-1) 2 ('b~Ck)
(Єн...іп°Єп...іп) = (-1) 2 ("I)*
если ik ^ ik-\-1 Для всех k. В остальных случаях (кроме получающегося из предыдущего перестановкой циклов) (et, ... in о eh ... /„) = 0.
Результат Ф. Фама может быть получен из теоремы 11 (п.2.7).
ч
Применение ее к особенности f (х)= 2 xIk дает ту же матрицу
k = i
пересечений, что и у Ф. Фама, если в качестве отмеченного базиса особенности fk(xk) — xkk использовать базис, описанный в теореме 15. Для особенности fk (xfc) = хакк положим є = 1,
u(t) = (1-0. H(t)xh^yjT~t)xk. Последовательное применение конструкции, описанной в п. 2.7, к отмеченным базисам особенностей Zfc(Xft), даваемым теоремой 15, приводит, как нетрудно убедиться, к базису, построенному Ф. Фамом в [94]. Мы получаем следующий результат.
Утверждение. Базис Ф. Фама является отмеченным относительно лексикографического упорядочения его элементов.
Это значит, что D-диаграмма особенности Ф. Фама имеет вид, изображенный на рис. 24 (ге = 2, ^ = 6, а2 = 5).
§ 3. Бифуркационные диаграммы и группа монодромии особенности
Характеристики особенности, рассматривавшиеся в § 2 (кратность особенности, ее матрица пересечений, группа монодромии, ...), связаны с такими объектами, как бифуркационные
9—-JS / У у У у > А у У У У * > А ( / У У Y ?-^ff / У У У If
У у У г ? У ? У У f , 1 J У У У У У ? У У У S г .
1 ' А у У У У У О .......< ' У У У У У і У У У У У V і* У У У У У
Рис. 24. бифуркационные диаграммы
51
диаграммы нулей и функций особенности, ее разрешение, ее полярные кривые. Некоторые из этих связей будут изложены в этом параграфе.
3.1. Бифуркационные диаграммы особенности. Для того, чтобы определить бифуркационные диаграммы особенности, напомним определение ее версальной деформации (более подробное изложение см. в ОДО-1, § 8).
Определение. Деформацией особенности /: (С", 0) —>- (С, 0) называется такой росток голоморфной функции F (х, v) (v G С1, F: (СфС, 0) —(С, 0)), что F (х, 0) = /(*).
Пространство C1 называется пространством параметров или базой деформации F.
Определение. Деформация F {х, v) особенности / называется версальной, если любая деформация G(x, т]) (-q ? Cm) особенности f (G (х, 0) = / (х)) «эквивалентна деформации, индуцированной из F», т. е. существует аналитическое отображение ¦ф: (С"®, 0) —>- (С1, 0) пространства параметров и аналитическое семейство g (х, v) (ff: (Cn фСт, 0) —>- (С", 0), g (¦, 0) = id: С" — С") локальных замен координат такие, что G(x, v) = F (g(x, v), гр (v)).
Размерность I базы C1 версальной деформации F (х, v) не меньше кратности р, особенности 0. Существует (и единственна в естественном смысле) версальная деформация особенности / с базой, размерность которой в точности равна р,. Эта деформация называется минивереальной.
Миниверсальная деформация F (х, v) особенности / может быть построена следующим образом. В п. 2.1 указывалось, что фактор-кольцо кольца п6 ростков голоморфных функций (С", 0) —* (С, 0) по идеалу, порожденному частными производными функции / (якобиеву идеалу), как комплексное векторное пространство имеет размерность, равную кратности р, особенности f. Пусть ростки функций ф,-: (С", 0.) —a-(С, О) (г = 0, 1, . . ., р,— 1) порождают базис
н-1
этого пространства. Тогда деформация F (х, v) = / (х) + 2 V,<P,-(*)
1=0
является миниверсальной (v = (V01V1, ...,Vfj^l)). В качестве ф0 может быть взят росток функции, тождественно равной единице.
Пусть F (х, V)—миниверсальная деформация особенности / (vgC11), Wv = {х ? Cn: F(x,v) = 0, ЦхЦ^р}—множество нулевого уровня функции F(-, v). Поскольку F(x, 0) = / (х), множество ~{х ? С": f (x) = 0} трансверсально к сфере S9 достаточно малого радиуса р, то существует такое є>0, что при || v || ^ є множество \х ? С": F(x,v) = 0\ трансверсально к сфере S9. Отсюда следует, что если множество Wv неособо, то оно диффеоморфно неособому множеству уровня функции f вблизи критической точки. Множество тех значений параметра v, для которых Wv особо, образует множество (комплексной) коразмерности один.
Определение. Бифуркационной диаграммой нулей (или 52
топологическое строение
[гл. i
бифуркационной диаграммой множеств) особенности / называется пространство S8 = -{v ? О: || v || є, 0—критическое значение функции F (¦, v) в шаре
