Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
P2 = P.
Обратим внимание на то, что мы рассматриваем только ограниченные линейные операторы, которые удовлетворяют равентсву (3.143)
aj
та a Є Л:
dist (aj , a (a) \ aj) > 0.
Проектор
def 1 f
P(aj) = - фЯ(Л, a)dЛ
2m J
dD
200
где
С D С O(a,) , O(a,) f|(a(a) \ aj ) = 0,
называется спектральным проектором на компоненту aj спектра элемен-a
Пусть P -проектор и у = Px. Тогда
Py = P2x = Px = у,
поэтому справедлива
Лемма 3.5.10. Если, P -проектор, то у Є Im(P) в том и только том, случае, если,
У = Py. (3.144)
P
ство Im(P) С B есть замкнутое подпространство. Далее замечаем, что P (id — P)
PB замкнутых подпространств:
B = PB 0 (id — P)B = Im(P) Є Im(id — P).
Теперь теорему 3.5.13 можно сформулировать так.
Теорема 3.5.14. Пусть спектр элемента a Є L(B ь-> B) есть объединение конечного числа замкнутых множеств:
a(a) = (J aj , cfcrt(aj , afc) > 0 , j = k,
P(aj) B
B = 0*52 P(aj)B, (3.145)
j
причем
V(/ Є Fa) : / (a)P(aj)B С P(aj)B , a(P(aj)/(a)) = {0} |J / (aj). (3.146)
Посмотрим, как изменяется оператор /(a) при малом изменении опе-a
I Is теоремы 3.5.2 (см. стр. 189) следует
201
Теорема 3.5.15. Пусть f Є Fa. Тогда существует такое є > 0, что
V(b Є 6(а,е)): f Є Fb
f (b)= /Z 2т jR(X,a)((b - a)R(X, a))nf (X)dX. (3.147)
0<n<oo ,/ ч -- 1(a)
Доказательство. Из второго резольвентного тождества ( (3.108), стр. 190 ) следует, что
R(A , b)(id - (b - a)R(X , a)) = R(X, a). Поэтому при достаточно малом є > 0 :
V(b Є Ь(а,є)): R(X, b) = R(X,a)J2((b - a)R(X,a))n. (3.148)
0<n<oo
Подставив эту формулу в (3.120), мы получим утверждение теоремы. Из (3.147) следует полезное и часто используемое равенство:
f (b) = f (a) + ^- I R(X,a)(b - a) R(X , a)f (X) dX + O(\\b - a\\2), (3.149)
2mi
1(a)
где символ 0(....) означает слагаемое, норма которого имеет указанный в скобках порядок.
Наконец отметим, что из леммы 3.5.5 (см. стр. 189) и формулы (3.107) следует
Теорема 3.5.16. Если U Є A -обратимый элемент, то
Uf (a)U-1 = f (UaU-1). (3.150)
3.6 Изолированные особые точки резольвенты.
3.6.1 Общий случай.
Определение 3.6.1. Точка X0 называется изолированной особой точкой резольвенты R(X, a), если существует такое #о > 0, что
V(X Є {X | 0 < |X - Xo| < 6о}) :
R(X, a)= An(X - Xo)n, (3.151)
—oo<n<oo
3(n < 0) : An = 0 (3.152)
202
Входящие в (3.152) коэффициенты An удовлетворяют ряду тождеств, которые мы сейчас выведем. Введем функции
[0 ,n< 0.
/1, n = m, 10 , n = m.
Теорема 3.6.1. Справедливы, равенства
1. v(m, n) : AnAm =(1 - в(ш) - 9(n))Am+n+i. (3.153)
2. vn: (a - Л(^^п = An-i - Cid. (3.154)
Доказательство. Пусть 0 < є < 5о. Положим
11 = [? \\? - Ло| = є/2}, /2 = [Л \ \Л - Л0\ = є}.
Тогда из (3.152) следует, что
vn : An = — фЯ(Л, a)^ - Ло)-(n+1)dЛ, (3.155)
2ni
12
AA
nm
1
ЪН 1
ЪЙ 1
ЪЙ
2
j Я(Л, a)^ - Ло)-n-1dлjR(?, a)(? - Ло)-m-1d?
12 Ii
2 Г Г
Я(Л , a)R(? , a)^ - Ло)-11-1^ - Ло)-m-1dЛd?
12 Ii 2 Г I
(Я(Л , a) - R(? , a))(? - Л)-1х
12 Ii
n 1 m 1
Но
(Л - Ло)-п-1^ - Ло)-m-1dЛd?.
(? - Л)-і = -(Л - Ло)-1 ? (^)'
k
203
Подставив это равенство в предыдущее, мы получим первое утверждение теоремы.
Теперь докажем второе утверждение теоремы. Справедливо равенство
((Aoid — a) + (Л — Ao)id)R(A, a) = id.
Умножим это равенство на (2ni)-1(A — A0)""-"1 и проинтегрируем по контуру /2, Получим (3.154), Теорема доказана. Определим операторы
P(Ao) = Ai = — j R(A , a)dA, (3.156)
2пг J
12
D(Ao) = A2 = 2~^/R(A, a)(A — Ao)dA, (3.157)
12
Ao(Ao) = — *R(A,a)(A — Ao)-1dA. (3.158)
2пг J
12
Теорема 3.6.2. В окрестности изолированной особой точки резольвента имеет разложение:
R(A , a) = S-(A) + P(Ao)(A — Ao)"1 + S+(A), (3.159)
где
S-(A) = D(Ao)(|"|-1)(A — Ao)", (3.160)
—оо<га<—2
S+(A)= J (—l)"+1Ao(Ao)"+1(A — Ao)". (3.161)
<"<о
Доказательство. Положим в (3.153) m = —2 , n = —q , q > l. Получим:
A—(q+1) = A—2A—q ,
поэтому
A—(q+1) = Aq—2.
Положим в (3.153) m = 0 , n > 0. Получим:
A("+1) = —A A",
поэтому
V(n > 0) : A" = (—Ao)("+1).
Теорема доказана.
204
a
ванные особые точки и нет других особенностей, то
a = 1>,- P (Xj) + D(Xj)), (3.162)
j
где сумирование распространено на все особые точки резольвенты, и входящие в (3.162) операторы, вычисляются по формулам (3.156)-(3.157).
Во-первых отметим, что поскольку все особые точки резольвенты расположены внутри круга конечного радиуса, то изолированных особых точек может быть только конечное число. Далее заметим, что из (3.154) следует равенство
Vj : P(Xj)a — XjP(Xj) = D(Xj). Xj
утверждение теоремы.
3.6.2 Строение резольвенты в окрестности полюса.
Определение 3.6.2. Изолированная особая точка X0 называется полюсом порядка m > 1, если в разложении (3.152)
V(n > m) : A-n = 0 , A-m = 0. (3.163)
В дальнешем нам будет удобно считать, что
a = T EC(B — B).
Напомним
X0
ратора T є C(B — B), если
3(x є B , x = 0) : Tx = X0x.
Теорема 3.6.4. Если X0 -полюс порядка m для резольвенты оператора T
X0 T
2. При n > m справедливы равенства:
V(n > m) : Ker((Xo — T)n) = Im(P(Xo)). (3.164)
V(n > m) : Im((Xo — T)n) = Im(id — P(Xo)), (3.165)
