Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
a(a)
Поясним смысл введения этого пространства. Функция 0o(A) Є Fa есть единица алгебры Fa, если
V(0(A) Є Fa) : 0o(A)0(A) = 0(A)0o(A) = 0(A).
F,
сти комплексного переменного функция
0o(A) = 1.
Но тогда элемент 0(A) Є Fa имеет обратный в том и только том случае, если
и оба, сомножителя в (3.124) аналитичны на всей плоскости комплексного переменного. Следовательно, в алгебре Fa обратимы только функции, тождественно равные константам.
Ясно, что формула (3.120) индуцирует алгебраический гомоморфизм алгебры Fa в алгебру Л. Теперь теорему 3.5.7 можно сформулировать так.
Теорема 3.5.8. Элемент 0(a)-i существует в том и только том случае, если элемент ф имеет обратный элемент в алгебре fa
196
Из теоремы 3.5.7 следует, что элемент (? • id — f (a)) имеет обратный в том и только том случае, если функция
X — (? — f (X))
a
Теорема 3.5.9. Справедливо равенство
a(f(a)) = f(a(a)).
Пусть функция ф(г) аналитична в окрестности спектра a (a), а функция f (z) аналитична в окрестности ф(а(a)). Оператор f (ф(о)) мы можем вычислить двумя способами. Мы можем вычислить функцию z — f (ф^)), а потом поставить этой функции в соответствие оператор f (ф(0)). Мы можем вычислить оператор ф(и), а потом оператор f (ф(о)) как функ-ф( a)
результат.
Лемма 3.5.9. Диаграмма
Ф(z) -> f(ф(z))
ф(() ——> f (ф(())
°рф(а)
коммутативна.
Доказательство. Справедливы равенства
f (ф(()) = ¦^f R(Z^(O)) f (?)d? =
І/ (І/(Z — ^X))"lR(X,a)dX)f(Z)dZ =
-^-.jf(ф(X))R(X,a)dX = f(ф(()). Лемма доказана.
По-существу, эта лемма доказывает корректность опеределния (3.120): мы доказали, что оператор f (ф(о)) определяется только функцией z — f (ф(z)) и не зависит от способа вычисления этой функции.
Определение 3.5.12. Образ алгебры f„ при гомоморфизме (3.120) мы обозначим символом op„(f„).
Op,
197
Ясно, что Opa(Fa) -коммутативная подалгебра алгебры A = L(B —
Пусть f є Fa и W -содержащая спектр элемента а є A открытая
f
видная оценка:
Hf (а)|| < |l|sup(HR(A , а) H | А є l} sup{|f (А)| | А є W}, (3.126)
где |l| -длина копт ура I. Константа
C(W , а) = Щ sup{HR(A, а)H | А є 1}
не зависит от функции f є Fa, то зависит только от элемента а є A и Wf fW ведлива оценка:
Hf (а) H < C (W , а) sup{|f (А)| | А є W}. (3.127)
Отсюда вытекает
Теорема 3.5.10. Пусть все функции {fn} аналитичны, в фиксирова,-нои окрестности W D а(а). Пусть последовательность {fn} фундаментальна в метрике
dw(f , g) = sup{|f (А) - я(А)| | А є W}. (3.128)
Тогда, существует такая функция f є Fa, что
Hfn(a) - f (а)H- 0 , n — то. (3.129)
Доказательство. Существование функции f є Fa -следствие теоремы Вейрштрасса, утверждение (3.129) -следствие оценки (3.127).
Fa
вопрос о непрерывности отображения (3.120) нами не ставится. Докажем несколько простых свойств гомоморфизма (3.120).
Теорема 3.5.11. Если
f(А) = Y апАп (3.130)
0<п<оо
и радиус сходимости степенного ряда (3.130) больше, чем ЦаЦ, то
f(а)= Y апап. (3-131)
0< n< о
198
Доказательство. Выберем є > 0 настолько малым, что число ||а|| + є было бы меньше, чем радиус сходимости ряда (3.131), выберем в качестве контура интегрирования в (3.120) окружность радиуса ||а|| + є и подставим в (3.120) разложения (3.104) и (3.131). Получим (3.131).
В теории банаховых алгебр важное значение имеет понятие спектрального радиуса.
Определение 3.5.13. Спектральным радиусом элемента a банаховой алгебры называется число
r(a) = sup{|A|| А Є а(а)}. (3.132)
Теорема 3.5.12. Справедлива формула
r(a) = lim ||an||1/n. (3.133)
ra—oo
Доказательство. Обратимся к формуле (3.104). Радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле
Ro = lim sup ||an||1/n. (3.134)
ra—oo
Доказательство этой формулы для случая банаховах алгебр дословно повторяет известное доказательство в теории функций комплексного переменного, и так же, как и в теории функций комплексного переменного легко доказывается, что ряд (3.104) сходится при |А| > R0, расходится при |А| < R0 и представленная рядом (3.104) функция обязательно имеет особенности на окружности {А | |А| = R0} Отсюда следует, что
r(a) = limsup ||ara|1/n. (3.135)
a—o
Теперь заметим, что из формулы (3.125) следует, что
{А | А = рп, ? є a(a)} = a(an) с {А | |А| < ||an||},
поэтому
V(n > 0) : r(a)n < ||an||.
Следовательно,
r(a) < liminf ||ara|1/n. (3.136)
a—o
Сравнивая формулы (3.135) и (3.136), мы получаем утверждение теоремы.
199
Теорема 3.5.13. Пусть спектр элемента a есть объединение конечного числа замкнутых множеств:
a (a) = (J aj , dist(aj , ak) > 0 , j = k.
Тогда, существуют такие элементы P(aj) Є Л, что
P2(aj ) = P (aj), (3.137)
P(aj)P(ak) = 0 , j = k, (3.138)
Y P(aj) = id, (3.139)
j
/ (a) P (aj) = P (aj)/(a) , a (P (aj)/(a)) = [0}\J / (aj). (3.140)
Доказательство. Пусть O(aj) -непересекающиеся открытые окрестно-aj
Pj w = (іЄ °(aj)' <3-141>
[0 , Л Є O(aj).
Элементы
P(aj) = Pj(a)
удовлетворяют условиям теоремы.
Если Л = L(B — B), то доказанную нами теорему можно изложить в несколько иной редакции.
Определение 3.5.14. Оператор P Є L(B — B) называется проектором, если
