Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
X
VA С X : ?*(A) = inf{?(B) | B Є Л, A С B}. (1.109)
Определение 1.2.3. Множество A С X называется измеримым по Лебегу, если выполнено равенство
?*(A) + ?*(X \ A) = 1. (1.110)
и в этом случае мерой Лебега множества A называется число ?*(A).
Множество всех измеримых по Лебегу множеств образует а-алгебру, которая зависит как от исходной а-алгебры Л, так и от меры ?. Обозначим эту а-алгебру символом Extu(Л). Она называется лебеговским расширением <7-алгебры Л. Функция множеств ?* (A) на а-алгебре Extu^) определяет меру, которую называют лебеговским, продолжением, меры ?
?
Определение 1.2.4. Заданная на а-алгебр е Л мер а ? называется полной мерой, если из того факта, что Z С A , A Є Л , ?(A) = 0 следует, что Z Є Л , ?(Z) = 0.
Мера Лебега полна, а лебеговское расширение а-алгебры с заданной на ней счетно-адитивной мерой можно получить (см. доказательство в [9] . гл. 1, предложение 1.4.6). , если дополнить область определения меры всеми подмножествами множеств меры ноль и на этих подмножествах доопределить меру нулем.
48
Другой способ построения лебеговского расширения а-алгебры A состоит в следующем. Рассмотрим симметричную разность двух множеств
AAB := (A |J B) \ (Afl B).
Легко видеть, что
I(AAB | x) = |I(A | x) - I(B | x)|,
поэтому функция
d(A , B):= ?*(AAB) (1.111)
X
интерпретации, на множестве всех характеристических функций подмножеств множества X). Замыкание а-алгебры A, рассмативаемой как подмножество полного метрического пространства с расстоянием (1,111), и будет лебеговским расширением а-алгебры A.
В рамках схемы Даниэля лебеговское расширение а-алгебры A можно
X
функций L0(X) как множество функций вида
f (x)= «I(Aj | x) , «j є R1,
l<j<N
где
Aj є A , (J Aj = X , Aj pi Ai = 0 , j = i.
j
На этом пространстве элементарных функций определим элементарный интеграл формулой
Io(f ):=]>] «j?(Aj)
j
и далее будем действовать по схеме Даниэля, Тогда элементами пополнения а-алгебры A будут те подмножества, характеристические функции которых принадлежат пространству L(X),
а/ а/
A = ExtM(A). Ниже мы не будем делать это предположение. Следует заметить, что если в область определения меры входит больше нулевых подмножеств, то входит и больше их дополнений, поэтому изменяется содержание понятия почти всюду.
Пусть на множестве X задана а-алгебр a A, на множестве Y задана а-алгебр a B и
f : X - Y
49
-отображение X в Y, Легко проверить, что при любом отображении / полный прообраз / -1(В) а-алгебр ы B есть некото рая а-алгебра в X,
/ : X - Y
а-алгебр ы Л С Xn а-алгебр ы ВС Y, если
/-1(В) СЛ.
Понятие измеримости отображения никак не связано с понятием ме-
аа задана мера, то часто говорят об измеримости отображения относитель-
а
Кслп Y = R1, то обычно по умолчанию считают, что в качестве а-алгебры В в R1 взята не пополненная (это важно!) а-алгебра борелевских
а
все открытые множества. В этом случае определение 1.2.5 эквивалентно следующему.
Определение 1.2.6. Заданная на множестве X функция /: X э x -
/(x) Є R1 а Л
X a Є R1 {x | /(x) < a}
а Л.
A С X
ли его характеристическая функция измерима в смысле определения 1.2.6.
R1 а
а
пространстве X задана произвольная а-алгебра и
/ : X - R1
-измеримое в смысле определения 1.2.6 отображение. Докажем, что оно
/(x)
смысле определения 1.2.6, то множество
A = {x | /(x) < a} = pi {x | /(x) < a + 1/j} (1.112)
а
а
/(x) a Є R1
A = {x | /(x) < a}
50
измеримо, то при любом a є R1 множество
B = {x | f (x) < a} = (J {x | f (x) < a - 1/j} (1.114)
а
а
f(x)
{x | f (x) > a} = X \ {x | f (x) < a}, {x | f (x) > a} = X \ {x | f (x) < a}
измеримы как дополнения к измеримым множествам. Таким образом, мы доказали следующе
f(x)
a є Ri
из множеств
{x | f(x) < a} , {x | f(x) < a},
{x | f(x) > a} , {x | f(x) > a}
измеримо, и измеримости при всех a є R1 одного из этих множеств следует измеримость остальных.
Аналогично доказывается
f(x)
1.2.6 в том и только том случае, если каково бы ни было борелевское множество B С R1, полный прообаз f-1(B) множества B принадлежит а-алгебре A, т.е. определения 1.2.6 и 1.2.5 эквивалентнны.
В задачах теории функций действительной переменной в качестве X [0 , 1] а
римых по Лебегу множеств. В этом случае понятие измеримости оказывается очень широким и примеры неизмеримых функций строятся с трудом.
В задачах теории вероятности интересуются измеримостью функции g(x) относительно найменыней а-алгебры, которая содержит все а f-i(B) f
ражений. Эта задача нетривиальна, так как справедливо утверждение: функция g(x) измерима относительно а-алгебры f-1(B), если существует такая функция ф что g(x) = 0(f (x)). Это очевидно в том случае, если
51
/
случай получается аппроксимацией произвольной функции простыми.
Приведем простой пример. Пусть пространство X есть отрезок [—1, 1], простанство Y есть отре з ок [0 , 1] и а-алгебр a Y ест ь а-алгебра борелев-ских множеств отрезка [0 , 1]. Пусть /(x) = x2. Тогда функция g(x) = |x| измерима относительно а-алгебры /-1(Y), а функция g(x) = max(0 , x) -нет,
