Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1.1.5 Пространства IJ' (X).
В этой части мы будем считать, что пространство элементарных функ-
0(X) 1.1.8 и 1.1.9.
В силу принятого нами условия 1.1.9 для любой основной функции ф Є L0 (X) выполнено включение
Vp > 1: |ф|р Є Lo(X) С L(X).
Но, вообще говоря, может случиться так, что /(x) Є L(X), но |/(x)|p Є L(X) при p > 1. Примером может служить функция /(x) _ x-1/p , 0 < x < 1
[0 , 1]
бегу, однако очевидно, что функция |/(x)|p не интегрируема по Лебегу [0 , 1]
обладают тем свойством, что они сами и некоторая степень их модуля интегрируемы.
Лемма 1.1.16. 1. При любом p > 1 для a > 0 , b > 0 справедливо неравенство
(a + b)p < 2p-1(ap + If). (1.86)
2. При любых p > 1 , q > 1, таких, что
11
- + (1.87)
pq
a > 0 , b > 0
ap bq
ab < — + -. (1.88)
pq
40
Доказательство. Для доказательства неравенства (1.86) рассмотрим функцию
ф(і) = 2р-1 (1 + tp) - (1 + t)p. Эта функция удовлетворяет условиям:
ф(0) > 0 , Vt : ^ (t) > 0.
Следовательно,
V(а > 0 , b> 0) : ф(а/Ь) > 0,
что эквивалентно (1.86).
Для доказательства неравенства (1.88) рассмотрим функцию
,,. ар tq
=--1---at.
p q
Справедливы утверждения:
ф(0) > 0 , ф(оо) = то,
и существует единственная точка t = а1/(д-1\ в которой производная
ф
V t > 0 : ф( t) > 0,
доказана.
Показатели степени p > 1 , q > 1, которые удовлетворяют условию (1.87), называются сопряженными показателями степени. Сопряженные показатели степени удовлетворяют условию:
P + q = Pq.
Определение 1.1.13. Если выполнены условия 1.1.8 и 1.1.9, то мы говорим, что функция f (x) принадлежит пространству LP(X), если сама функция f (x) принадлежит пространству L(X) и функция |f (x)|p также
L(X).
Лемма 1.1.17. Пространство Lp(X) есть линейное пространство: если функции f (x) , g(x) принадлежат пространству Lp(X), то и их линейная, комбинация af (x)+?g(x) принадлежит пространству Lp(X).
Доказательство. Достаточно доказать, что функция ф^) = f (x)+g(x)
Lp(X)
странство L(X) есть ^^^^^^^ пространство, поэтому |f(x) + g(x)| Є L(X). ^^^^^^^ь доказать, что |f (x) + g(x) |p Є L(X). Согласно лемме
41
1,1,12 существуют такие последовательности элементарных функций fn(x) , gn(x), что
п.в. fn(x) — f (x) , gn(x) — g(x) , n — со. (1.89)
Из 1.1.9 и (1.89) следует, что
fn(x)+ gn(x)|p Є L(X) и п.в. fn(x)+ gn(x)|p - |f(x) + g(x)f.
Ho в силу неравенства (1.88):
|f (x)+ g(x)P < 2p-1(|f (x)|p + ШГ) є L(X),
поэтому в силу леммы 1.1.13
|f(x)+ g(x)f Є L(X).
Лемма доказана.
Положим по определению
V(f Є Lp(X)) : \\f | Lp(X)\\ = I(|f|p)1/p (1.90)
Определенный равенством (1.90) функционал f — \\f | Lp(X)\\ называ-Lp f
Теорема 1.1.4. Если f (x) Є Lp(X) , g(x) Є Lq(X), mo f (x)g(x) Є L(X) и справедливо неравенство Гельдера
I (|fg|) < \\f | Lp(X)\\-\\g | Lq (X)\\. (1.91)
Доказательство. Пусть последовательности элементарных функций fn( x) , gn( x)
п.в. fn^gn^ — |f (x)g(x^ < + Є L(X). (1.92)
Pq
f(x)g(x) Є L(X) f(x) - f(x)/\ f Lp(X)\ , g(x) - g(x)/\ g Lq(X)\ \ f Lp(X)\\ g
Lq(X)\
Теорема 1.1.5. Если f Є Lp(X) , g Є Lp(X), то справедливо неравенство Минковского:
|f + g | Lp(X)\\ < |f | Lp(X)\\ + |g | Lp(X)\\. (1.93)
42
Доказательство. Если p , q -сопряженные показатели, то справедливы неравенства:
і(|/ + g|p) < і(|/ + gM/1) +і(|/ + дГ1 \д\)
< і (|/ + g|(p-1)q )1/q і (|/|p)1/p +1 (|/ + g|(p-1)q )1/q і (|g|p)1/p-
Разделив обе части полученного неравенства на і(|/ + g|(p-1)q)1/q и учитывая, что (p — l)q = p , 1 — 1/q = 1/p, мы получим (1,93). Теорема доказана.
Теорема 1.1.6. Если последовательность функций С Lp(X)
удовлетворяет условию:
lim sup{|||/ra — | Lp(X)\\ | 0 < m < то} = 0, (1.94)
га—>оо
то
і. і? пространстве LP(X) существует такая функция /(x), что
lim |||/„ — /1| Lp(X)|| =0. (1.95)
—о
2. Существует такая подпоследовательность /n(j)(x) последователь/ ( x)
П.в. /n(j)(x) /(x) , j ^
{/n(x)} С Lp(X)
условию (1.94), то говорят, что она фундаментальна в пространстве Lp(X) Lp(X)
Lp(X)
Доказательство. Применяя неравенство Гельдера к (1.94) и учитывая условие 1.1.8, мы получаем:
і(|/n — < іі(|/n — /m|p)1/p - 0 , nm - TO. (1.96)
Lp(X)
L(X)
{/n(x)} {/n(j)(
что
п.в. /n(j)(x) - /(x) Є L(X) , j - то. (1.97)
Учитывая (1.94), мы получаем
п.в. |/n(j)(x)|p -|/(x)|p ,і (|/n(j)|p) < C.
43
Применяя лемму 1,1,15 к последовательности ф^- (x) _ /n(j) (x), мы полу-
/(x)
уеловиям:
/(x) Є L(X) , |/(x)|p Є L(X).
Применяя лемму 1,1,15 к последовательности ф.,- (x) _ |/n(j)(x) — /m(x)|p, мы получаем, что
I(|/ — /m|P) _ I( Um |/n(j) — /m|p) < e , m > N(e).
j—OO
Теорема доказана.
Если функция / (x) = 1 не принадлежит простр анству L(D) ,то Lp-норма функции / и пространство Lp(D) обычно определяются так, что в правой части (1,90) стоит несобственный интеграл в смысле определения 1.1.11.
Остановимся на этом подробнее. Пусть выполнены условия 1.1.11.
Lp(D)
D
/(x) Lp(D)
Vm: /(x)I(Dp|K(m) | x) Є Lp(K(m))
и конечен предел
lim /т((|/|I(D П K(m) | -))p) < то, и в это случае мы по определению полагаем
||/ | Lp(X)||p :_ lim |I(D f]K(m) | -))p). (1.98)
