Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Дифференциальные формы можно умножать не только на числа, но и на функции. Множество С^-дифференциальных
§ 34. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
155
Л-форм имеет, таким образом, естественную структуру модуля над кольцом бесконечно дифференцируемых вещественных функций на М.
Д. Общий вид дифференциальных /••-форм в R". Рассмотрим в качестве многообразия M линейное пространство R" с фиксированными координатными функциями X1, . . ., хп: R"-»-R. Зафиксируем точку х. Мы видели выше, что п 1-форм dxx, . . ., dxn образуют базис в пространстве 1-форм на касательном пространстве тк.
Рассмотрим внешние произведения базисных форм
В § 32 мы видели, что эти Cn й-форм образуют базис в пространстве внешних й-форм на 71RJJ. Следовательно, каждая внешняя Ж-форма на 31Rx однозначно записывается в виде
S аг,. «j1 dx^f \ ... /\ dx^.
Пусть теперь о/ — произвольная дифференциальная й-форма в пространстве R". В каждой точке х она однозначно разлагается по выписанному выше базису. Отсюда вытекает
Теорема. Всякая дифференциальная k-фор- | JKa в пространстве R" с выбранной системой ко- ^ ординат X1, . . ., хп однозначно записывается в ^ шде Ij21
coft = J CL11... tjf {х) dxlt/\.../\ dxlv 1
где oj1 ...гн (х) — гладкие функции на R". ^h7 z
Задача 8. Вычислить значения фо-pw O1 = Ux1 Д Рис ИЗ. К задаче 8 Д dx2, W2 = X1Ux1 Д dx2 — x2dx2 Д dxx, CO3 = г dr Д dtp (где X1 = г cos ф, ж2 = г sm ф) на парах векторов (I1, %), (|2, i]2), (13, i]3) <рис. 143).
ответ.
(Si. Чі)
(Із, Чг)
(Ss, Чз)
1
1
—1
W2
2
1
—3
O3
1
1
—1
Задача 9. Вычислить значения форм W1 = Ar2 Д dx3, со2 = x1Ar3 Д Д dx2, ш3 = dx3 Д dr3, г2 = х\ + xjj + ^?, на паре векторов | = (1, 1, 1), Ч = (1, 2, 3), приложенных в точке х = (2, О, 0).
Ответ. (H1 =1, (b2 — —2, Co3 = —8.
Задача 10. Пусть x1, . . ., xn: M —» R — функции на многообразии, образующие локальную координатную систему в некоторой области.
158
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Докажите, что каждая дифференциальная форма в этой области однозначно записывается в виде
ю* ¦= 2 0j1...i„ (ж) dxi. А • • • Л d*L •
Пример. Замена переменных в форме. Пусть в R3 имеются две системы координат: X1, х2, х3 и уи у2, у3. Пусть to — 2-форма в R3. Тогда по последней теореме в системе ж-координат to записывается в виде to = X1Ux2 Д dx3 + X2dx3 /\ dxx + X3CIx1 Д dx2, где X1, X2, X3 — функции от X1, X2, х3, и в системе !/-координат — в виде to = F1^2 Д dy3 + Y2dys Д dy1 + Y^y1 Д dy2t где Y1, Y2, Y3 — функции от уг, у2, у3.
Задача 11. Зная вид формы в я-координатах (т. е. Xi) и формулы замены переменных, ж — as (у), найти вид формы в !/-координатах, т. е. найти У.
дх. OjC1 д.C1
dy3. Поэтому
Решение. Имеем dr = ——-б—di/2+ , ' Oyx ду2 yz ' (Jy3
dx2 Д dx3 = откуда
W^1 +
дх2 Ox2
MS
дг3
Ox3
dy^jt
Y*-XADivx, гл) I + *2
D (r3, X1) D (Ух, Уг)
+ X3
D (-і, x2)
D (j/i, г/г)
и т. д.
Рис. 144. K задаче 12
Рис. 145. К задаче 13
Б. Добавление. Дифференциальные формы в трехмерном пространстве. Пусть M — трехмерное ориентированное риманово многообразие (во всех дальнейших примерах M — евклидово трех-^ мерное пространство R3). Пусть Bf X1, х2, х3 — локальные координаты, и пусть квадрат элемента длины имеет вид
ds2 = Ejd? + E2dx\ + E3dx%
(т. е. система координат триорто-гональная).
Задача 12. Найти E1, E2, E3 для декартовых координчт х, у, z, цилиндрических координат г, ф, z и сферических координат R, ср, 6 в евклидовом пространстве R3 (рис. 144).
Ответ.
ds2 = dx2 + di? + dz2 = dr2 + r2d(f2 + dz2 = dB2 + Я2 cos2 Є dcp2 + ЯШ2.
Обозначим через ех, е2, е3 орты координатных направлений. Эти три вектора образуют базис в касательном пространстве.
Задача 13. Найти значения форм dxx, dx2, dx3 на векторах ех, е2, е3. 1
Ответ, dx^ (ег) = —, — , с стальные 0. В частности, в декартовой си-
V Ei
стеме dx (ех) = dy (еу) — dz (ег) = 1; b^ цилиндрической dr (еТ) -- dz (ez) =
§ 34. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
157
1
= 1, dq> (C41) = Hr (рис. 145); в сферической dR (eR) = 1, d<p (е^) = cos е
«»в(вв)=-г.
Метрика и ориентация многообразия M снабжают касательное-пространство к M в каждой точке структурой евклидова ориентированного трехмерного пространства. В смысле этой структуры мы будем говорить о скалярных, векторных и смешанных произведениях.
Задача 14. Вычислить' Ie1, е2], (eR, е$) и (ez, ех, еу). Ответ. е3, О, 1.
В ориентированном трехмерном евклидовом пространстве каждому вектору А соответствуют 1-форма шл и 2-форма сол, определяемые условиями
од (I)- (АЛ), ой (!,л) = (-4,!,?), у?,лєек3.
Соответствие между векторными полями и формами не зависит от системы координат, но лишь от евклидовой структуры и ориентации. Поэтому каждому векторному полю А на нашем многообразии M соответствуют дифференциальная 1-форма шд на M и дифференциальная 2-форма сол на М.
Формулы перехода от полей к формам и обратно имеют в каждой системе координат свой специальный вид. Пусть в координатах X1., х2, х3, описанных выше, векторное поле имеет вид
