Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
маятники
Рис. 85. Потенциальная внергия сильно связанных маятников
Рис. 86. Зависимость собственных частот от жесткости пружины
Рис. 87. Предельный случай маятников, связанных бесконечно жесткой пружиной
Пример 3. Исследовать собственные колебания двух разных маятни-
1
ков (тх ф т2, Iy Ф I2, g — I)5 соединенных пружиной с энергией -tj-a (5i — <fe)
(рис. 84). Как ведут себя собственные частоты при сс —» 0 и при а —» оо? Имеем
1
7(?? + ???'
т =-
U = mih ~2~ "г" mA~Ь(ft — ?s)z-
Поэтому (рис. 85)
А =
т^\ О О mfs
В =
I ТП\ W -\~ а — °С
I — a Tn2i2 -f- а и характеристическое уравнение имеет вид
mih -f- а — ХлгіЙ
det IJS — I = det
или
— сс W2^a-f - ос — Xm2I2
а№ — (Ъ0 + O1OL)X + (с0 + C1«) = О,
= 0,
§ 24. О ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
99
где
b0 = Tn1I1Tn2I2 (I1 -}- Z2), J)1 = Tn1I1 + m2^,
C0 = Tn1Tn2I1I2, C1 = Tn1I1 + Tn2I2.
Это — уравнение гиперболы на плоскости а, К (рис. 86). При а —> О слабая пружина) частоты стремятся К частотам свободных маятников (ш2 2 = = ^2); при а —» оо (очень сильная пружина) одна из частот стремится к со, а вторая — к собственной частоте Q)00 маятника из двух масс на одном стержне (рис. 87):
2 Tn1I1 -}- Tn2I2 moo== Tn1il+ тА '
Задача. Исследовать собственные колебания плоского двойного маятника (рис. 88).
Задача. Найти вид траектории малых колебаний материальной точки на плоскости, находящейся в центре правильного треугольника и соединенной одинаковыми пружинами с вершинами (рис. 89).
Рис. 88. Двойной ма- Рис. 89. Сиситема с бесконечным множе-ятник ством собственных колебаний
Решение. При повороте па 120° система переходит в себя. Следовательно, все направления собственные, а обе собственные частоты одинако-1
вы: tj = "2~со2 (я2 -(- у2). Значит, траектории—эллипсы (см. рис.20).
§ 24. О поведении собственных частот
Здесь доказаны теоремы Релея — Куранта — Фишера о поведении собственных частот системы при увеличении жесткости и при наложении связи.
А. Поведение собственных частот при изменении жесткости.
Рассмотрим совершающую малые колебания систему с кинетической и потенциальной энергиями
1 1
T = -^-(Aq, ?)>0, U = — (Bq, q) > О для всех o/,ff#0.
О п р е д е'л е н и е. Система с такой же кинетической энергией и потенциальной энергией U' называется более жесткой, если
1 1
U' = -у- (B'q, q) > -jj- (Bq, q) = U для всех q.
100
ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ
Мы хотим выяснить, как изменятся собственные частоты при увеличении жесткости системы.
Задача. Рассмотрите одномерный случай.
Теорема 1. При увеличении жесткости все собственные частоты увеличиваются, т. е. если W1 <^ W2 ^ . . . <С Wn — собственные частоты менее жесткой системы, а W1 <^ щ <^ . . . <^ ^ Шп — более жесткой, то W1 <С W1; . . .; Wn wn.
Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Не нарушая общности, можно считать, что А = Е, т. е. что мы рассматриваем евклидову структуру, заданную кинетической энергией \
T = — (fl-i ч)- Каждой системе сопоставим эллипсоид: Э: (Bq, q)
— 1, Э': (B'q, ?) = 1. Очевидна
Лемма 1. Если система U' жестче системы U, то соответствующий ей эллипсоид Э' лежит внутри Э.
Столь же очевидна
Лемма 2. Главные полуоси эллипсоида обратны собственным частотам W2-:
1
Поэтому теорема 1 эквивалентна следующему геометрическому утверждению
Рис. 90. Полуоси внутрен- (рИС. 90).
него эллипсоида меньше Теорема 2. Если эллипсоид Э с
полуосями а, > H2 ^ • • • ^ йп содержит эллипсоид Э' с полуосями а'х > а2 > . . . ^> а'п с тем же центром, то полуоси внутреннего эллипсоида меньше:
O1 ^ O1, «2 O2, ¦ • -, ап а'п.
Пример. При увеличении жесткости а пружины, соединяющей маятники примера 3 § 23 потенциальная энергия растет, и по теореме 1 соб-
dco.
ственные частоты растут: _— -?. п
da '
Рассмотрим теперь случай, когда жесткость пружины стремится к бесконечности: а —* оо. Тогда в пределе маятники жестко связаны и получается система с одной степенью свободы; предельная собственная частота —W1 <Г
< Q)00 < Q)2.
Б. Поведение собственных частот при наложении связи. Вернемся к общей системе с п степенями свободы, и пусть
1 1
T = -7j- (q, q), U = -у (Bq, q), q FZ К" — кинетическая и потенциальная энергия системы, совершающей малые колебания.
Пусть Rn_1 cRn-n — 1-мерное подпространство в R7' (рис. 91). Рассмотрим систему с п — 1 степенями свободы (q є= Є= Rn-1), у которой кинетическая и потенциальная энергии равны
§ 24. О ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
101
ограничениям T и U на Rn_1. Говорят, что эта система получена из исходной наложением линейной связи.
Пусть исходная система имела п собственных частот W1 <^ <; (D2 <^ - • • ^ соп, а система со связью— п—1 собственную частоту
CO1 CO2 <^ • • • < COn-I-
T е о р е м а 3. Собственные частоты си стемы со связью разделяют собственные частоты исходной системы (рнс. 92):
