Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
401
действует как такой же поворот вокруг оси § + g% + g^Vi- В последнем случае мы можем выбрать эту сумму в качестве направления одной из главных осей эллипсоида, а две другие оси в указанном трехмерном пространстве взять ему перпендикулярными. Поэтому оси эллипсоида, переходящего в себя при ортогональном преобразовании третьего порядка (в пространстве любого числа измерений) можно выбрать так, что всякая ось при преобразовании либо остается на месте, либо поворачивается на 120° в инвариантной плоскости, натянутой на нее и на другую (ортогональную ей, как и все другие оси) ось той же длины. В дальнейшем мы считаем, что оси эллипсоида и соответственно направления собственных колебаний выбраны именно таким образом.
Наши рассуждения показывают, что собственные колебания системы с поворотной симметрией третьего порядка могут быть двух типов: выдерживающие поворот на 120° (g% = 1) и переходящие при таком повороте в независимое собственное колебание с той же частотой (g§ и § независимы). Во втором случае возникают даже три формы собственных колебаний с одинаковой частотой (I, g| и g%), но независимых среди них только две:
t + gt + g4 = о,
так как сумма трех векторов равной длины, образующих углы по 120° на плоскости, равна нулю.
Общее число собственных колебаний нашей системы равно 6. Чтобы узнать, сколько из них первого (симметричного) и второго (несимметричного) типа, можно воспользоваться следующим рассуждением. Рассмотрим предельный случай, когда каждая из масс колеблется независимо от других.
В этом случае мы можем выбрать в конфигурационном пространстве ортонормированный базис из шести собственных колебаний, по два на каждую точку, при которых одна точка движется, а две другие нет. Обозначим через |,- и rj? соответствующие і-ш точке собственные векторы с собственными частотами а и Ъ соответственно, и пусть Xj, Ці — координаты в ортонормирован-ном базисе %i, x\i. Тогда потенциальная энергия запишется в виде
U = (аЪ\ + Ъ*у\) + 4- (а?х\ + Ъ*у\) + \- (а*х% + Ъ*у\).
Оператор симметрии g переставляет оси координат:
g%l — І2> g%2 = ?ІЗ = §1»
еЧі = Ч2, #42 = Чз, ёЧз = Чі-
Мы можем теперь представить наше шестимерное пространство в виде ортогональной прямой суммы двух прямых и двух двумерных плоскостей, инвариантных относительно оператора симметрии g. А именно, инвариантные прямые определяются
402
ДОБАВЛЕНИЕ 10
направляющими векторами
tl + І2 + ІЗ, Чі + 42 + %,
а инвариантные плоскости — это их ортогональные дополнения в пространствах, натянутых на орты |г и т|г соответственно.
При этом первая прямая является направлением симметричного собственного колебания с частотой а, а вторая — с частотой Ь. Точно так же любой вектор первой плоскости является направлением собственного колебания с частотой а, которое при повороте на 120° переходит в независимое с ним колебание той же частоты; для всех векторов второй плоскости колебание также несимметричное, с частотой Ъ.
Итак, в рассматриваемом вырожденном случае трех независимых точек имеются два независимые собственные колебания симметричного типа и четыре несимметричного, причем последние разбиты на две пары. В каждой паре колебания имеют одинаковую собственную частоту и получаются друг из друга поворотом плоскости наших точек на 120°.
Я утверждаю теперь, что подчеркнутый выше вывод остается справедливым для любого закона взаимодействия между нашими точками, лишь бы взаимодействие было симметричным, т. е. потенциальная энергия системы сохранялась при повороте плоскости на 120°.
Действительно, инвариантные относительно g векторы конфигурационного пространства образуют двумерную плоскость. Каждый вектор четырехмерного ортогонального дополнения к этой плоскости при применении оператора g поворачивается на 120°. Потенциальная энергия разлагается в прямую сумму форм на описанных двумерном и четырехмерном инвариантных пространствах оператора g. Шесть собственных направлений выбираются теперь так. Ровно два из шести векторов соответствуют симметричным колебаниям, а остальные четыре лежат в ортогональном им четырехмерном пространстве векторов, поворачивающихся на 120°. Возьмем один из этих векторов, применим к нему оператор g и объявим полученный вектор парным с исходным направлением собственного колебания. Затем в ортогональном дополнении к получившейся плоскости в четырехмерном пространстве выберем любой вектор и в пару ему возьмем его образ при действии оператора g. Мы получили систему из шести собственных колебаний, обладающую требуемыми свойствами.
Таким образом, в системе общего вида трех точек на плоскости с поворотной симметрией третьего порядка имеются четыре различные собственные частоты, в том числе две простые и две двукратные. При этом каждой из простых собственных частот отвечает симметричное собственное колебание, а каждой из двукратных — три собственные колебания^ получающиеся друг
КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
403-
из друга поворотом на 120° и дающие в сумме нуль (так что независимых среди них только два).
