Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
При этом замкнутым фазовым кривым соответствуют неподвижные точки отображения или его степеней. И обратно, каждая неподвижная точка отображения или его степени определяет замкнутую фазовую кривую.
Таким образом, вопрос о существовании периодических решений задач динамики сводится к вопросу о неподвижных точках сохраняющих площади отображений кольца на себя.
Занимаясь такими отображениями, Пуанкаре пришел к следующей теореме.
А. Неподвижные точки отображения кольца на себя.
Теорема. Пусть дано сохраняющее площади гомеоморфное отображение плоского кругового кольца на себя. Предположим, что граничные окружности кольца сдвигаются отображением в разные стороны. Тогда это отображение имеет не менее двух неподвижных точек.
Условие, что граничные окружности сдвигаются в разные стороны, означает, что если выбрать в кольце координаты (х, у mod 2я), так что граничные окружности будут х = а и .г — Ъ, то отображение задается формулами
(х, у) (/ (х, у), у + g (х, у))
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ
385
где функции /Hg непрерывны и 2я-периодичны по у, причем / (а, у)=? a, f(b, у) = Ь ш g (a, j/)< 0, g (Ъ, у) > 0 при всех у.
Доказательство этой теоремы, опубликованной Пуанкаре незадолго до его смерти, было дано лишь позже Дж. Д. Биркгофом, см. его книгу «Динамические системы» (M.: Гостехиздат, 1941).
При этом до сих пор остаются открытыми многие вопросы, связанные с этой теоремой и особенно с попытками ее многомерного обобщения, важными для исследования периодических решений задач с большим числом степеней свободы.
Дело в том, что рассуждение, с помощью которого Пуанкаре пришел к своей теореме, применимо в целом ряде других случаев. Однако хитроумное доказательство, данное Биркгофом, плохо поддается обобщению. Поэтому неизвестно, правильны ли выводы, которые подсказывает рассуждение Пуанкаре, за пределами теоремы о двумерном кольце. Рассуждение, о котором идет речь, состоит в следующем.
Б. Связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. Будем задавать симп-лектический диффеоморфизм кольца
(*, у) к> (X, Y)
с помощью производящей функции Xy + S (X, у), где функция S 2л-периодична по у. Для такой записи диффеоморфизма нужно, чтобы дХІдх Ф 0. Тогда
dS = (х — X) dy + (Y — у) dX,
и следовательно, неподвижные точки диффеоморфизма являются критическими точками функции F (х, у) = S (X (х, у), у). Последнюю функцию F всегда можно построить, определив ее как интеграл от формы (х — X) dy + (Y — у) dX. Градиент этой функции направлен либо внутрь кольца, либо наружу на обеих граничных окружностях одновременно (в силу условия о вращении в разные стороны).
Но всякая гладкая функция в кольце, градиент который на обеих граничных окружностях направлен внутрь кольца (или вовне его) имеет внутри кольца критическую точку (максимум или минимум). Более того, можно показать, что число критических точек такой функции в кольце не меньше двух. Следовательно, мы могли бы утверждать, что наш диффеоморфизм имеет не менее двух неподвижных точек, если бы мы были уверены, что каждая критическая точка функции F является неподвижной точкой отображения.
К сожалению, последнее верно лишь при дополнительном условии, что дХ/дх Ф 0, при котором можно выразить F через X и у. Таким образом, наше рассуждение проходит для отображений, не слишком сильно отличающихся от тождественного. Например,
386
ДОБАВЛЕНИЕ 9
достаточно, чтобы производные производящей функции S были меньше 1.
Некоторое усовершенствование того же рассуждения (с другим выбором производящей функции *)) показывает, что достаточно даже, чтобы собственные числа матрицы Якоби D (X,Y)/D (х, у) ни в одной точке не были равны —1, т. е. чтобы наше отображение не переворачивало бы касательное пространство ни в одной точке. К сожалению, все такие условия нарушаются в некоторых точках для отображений, далеких от тождественного. Доказательство теоремы Пуанкаре в общем случае использует совсем иные соображения.
Связь неподвижных точек отображения с критическими точками производящих функций кажется более глубоким фактом, чем сама теорема об отображениях двумерного кольца.
Ниже приведено несколько примеров, в которых эта связь приводит к содержательным выводам, правда, при некоторых ограничениях, необходимость которых неясна.
В. Симплектические диффеоморфизмы тора. Рассмотрим симп-лектпческий диффеоморфизм тора, оставляющий на месте цент}) тяжести
(? У) (х + f (я, у), у + g (х, у)) = (X1 Y)1
где X и у modd 2я — угловые координаты на торе, симплектич-ность означает равенство 1 якобиана D (X1 Y)ID (х, у), а условие сохранения центра тяжести состоит в том, то средние значения функций /Hg равны нулю.
Теорема. Такой диффеоморфизм имеет не менее четырех неподвижных точек, считая кратности, и не менее трех геометрически различных, по меньшей мере в предположении, что собственные числа матрицы Якоби ни в одной точке не равны —1.
Доказательство основано на рассмотрении функции на торе, заданной формулой
